物体波动方程公式总结 第1篇

首先，我们介绍波动方程：

u_{tt}-\Delta u=0\\

非齐次波动方程：

u_{tt}-\Delta u=f\\

其中 x\in U ， U\subset \mathbb{R}^n 是开集， u(x,t):\overline{U}\times [0,\infty)\to \mathbb{R} ，并且拉普拉斯算子是对 x=(x_1,x_2,...,x_n) 进行操作的，且 f:U\times[0,\infty)\to \mathbb{R} 已知。

物理解释 波动方程是在日常生活中常见问题物品的简化，例如一维情况下的线，二维情况下薄膜以及三维弹性固体波动的现象研究。 u(x,t) 描述的是在t时刻，x点的位移情况。

V 代表 U 的任意子空间，则加速度为： \frac{d^2}{dt^2}\int_Vudx=\int_Vu_{tt}dx ，净接触力是

-\int_{\partial V}F\cdot vdS ，F代表合力且质量为1.由牛顿定理( F=ma )可知

\int_Vu_{tt}dx=-\int_{\partial V}F\cdot vdS\\

在根据V的任意性，我们可以得到 u_{tt}=-div F ，对于弹性物体，F是关于位移梯度的函数，对于小梯度，我们可以近似得到 F(Du)\approx -aDu ，于是有 u_{tt}-a\Delta u=0 .当a=1时为我们所研究的波动方程。

物体波动方程公式总结 第2篇

波面/波阵面：相位相同的点所连成的曲面，

波前：最前面的波面

球波面：波面是球面的波

平波面：波面是平面的波

波长：同一波线 相邻相位差为2π 两质点间距 用 \lambda 表示

周期：前进一个波长的距离所需要的时间 用T表示

频率：周期的倒数

波速：单位时间 某一振动状态传播距离 用u表示 u_固>u_液>u_气

u=\frac{\lambda}{T}=\lambda \nu

表达式： y=Acos[\omega (t-\frac{x}{u})+\varphi]

代入 \omega=\frac{2\pi}{T} 与 u=\frac{\lambda}{T}

得： y=Acos[2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})+\varphi]

定义波数k为 k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{u}

得： y=Acos(\omega t-kx+\varphi)

y=Acos(\omega t-kx_1+\varphi)=Acos(\omega t-2\pi\frac{x_1}{\lambda}+\varphi)=Acos(\omega t+\varphi_1)

其中 \varphi_1=\varphi-2\pi\frac{x_1}{\lambda}

y=Acos(\omega t_1-kx+\varphi)

y(x_1,t_1)=Acos(\omega t_1-\frac{\omega}{u}x_1+\varphi)

这是行波，所谓波动，即波形的移动过程

动能： dE_k=\frac{1}{2}(dm)v^2=\frac{1}{2}\rho dV\omega^2A^2sin^2[\omega (t-\frac{x}{u})+\varphi]

势能： dE_p=\frac{1}{2}\rho dVA^2\omega^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]

总能量： dE=dE_k+dE_p=\rho dV\omega^2A^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]

能流密度： I=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2u

前提：频率相同，振动方向一致，相位相同\相位差恒定

假设两列相干波 y_1=A_1cos(\omega t+\varphi_1) y_2=A_2cos(\omega t+\varphi_2)

y=y_1+y_2=Acos(\omega t+\varphi)

其中 tan\varphi=\frac{A_1sin(\varphi_1-\frac{2\pi r_1}{\lambda})+A_2sin(\varphi_2-\frac{2\pi r_2}{\lambda})}{A_1cos(\varphi_1-\frac{2\pi r_1}{\lambda})+A_2cos(\varphi_2-\frac{2\pi r_2}{\lambda})} A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_1A_2cos\Delta \varphi}

相位差为\Delta \varphi=(\varphi_2-\varphi_1)-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda}

概念：振幅，振动方向，频率都相同，传播方向相反的简谐波叠加而成

存在两列波 y_1=Acos2\pi (\nu t-\frac{x}{\lambda}) y_2=Acos2\pi(\nu t+\frac{x}{\lambda})

则合成驻波函数为 y=y_1+y_2=2Acos2\pi \frac{x}{\lambda}cos2\pi \nu t

波节：振幅为0的位置

波腹：振幅最大的位置

相邻两波节或波腹间距为 \frac{\lambda}{2}

物体波动方程公式总结 第3篇

简谐运动表达式： x=Acos(\omega t+\varphi)

对其求导，可得速度表达式： v=-\omega Asin(\omega t+\varphi)=v_{m}cos(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})

其中 v_{m}=\omega A 叫速度幅值

再求导，可得加速度表达式： a=-\omega^{2}Acos(\omega t+\varphi)=a_{m}cos(\omega t+\varphi+\pi)

其中 a_{m}=\omega^{2}A 叫加速度幅值

A:振幅 T：周期(s) \omega :角频率 \nu ：频率(Hz) \omega t+\varphi :相位

T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{\nu}

势能： E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}cos^{2}(\omega t+\varphi)

动能： E_{k}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2sin^2(\omega t+\varphi)

因为有 \omega^2=\frac{k}{m} ，根据能量守恒，总能量为： E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2

合振幅： A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_1A_2cos(\varphi_1-\varphi_2)}

初相 \varphi 应满足： tan\varphi=\frac{A_1sin\varphi_1+A_2sin\varphi_2}{A_1cos\varphi_1+A_2cos\varphi_2}