解方程常用公式总结 第1篇

两角和公式：

sin(A B)=sinAcosB cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB sinAsinB

tan(A B)=(tanA tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1 tanAtanB)

ctg(A B)=(ctgActgB-1)/(ctgB ctgA)

ctg(A-B)=(ctgActgB 1)/(ctgB-ctgA)

解方程常用公式总结 第2篇

由于高阶一元线性方程可以写作\frac{d\vec x}{dt}=A(t)\vec x +F(t)的形式，所以这里的方法也适用于一元高阶线性微分方程。

朗斯基行列式就是把函数向量组放在一起的det。

解的朗斯基行列式可以表示为：

W(t)=W(t_0)exp(\int_{t_0}^{t}trA(s)ds)

\frac{d\vec x}{dt}=A(t)\vec x

设\lambda_i对应的特征向量为v_i（列向量），则基解矩阵

\phi(t)=(v_1 e^{\lambda_1 t},v_2 e^{\lambda_2 t},\cdots)

我们知道，\frac{d\vec x}{dt}=A(t)\vec x 的基解矩阵为e^{At}，关键就在于算这个exp矩阵了。

定义：

e^{At}=\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} A^k

(可以验证这个级数是对任何确定的A都是绝对收敛的)

不能对角化，那就Jordan标准化。目的是把A写作P^{-1}JP的形式，把每一个特征值的广义特征向量全部写满,就组成P了。J的对角线是特征值重复代数重数次，几何重数少了代数重数几个就在对角线右上添几个1.（我这抽象描述一下，实在是忘了Jordan标准化的话你还是专门去找文章看下吧）

计算得组成基解的线性无关向量：（第j个特征值的第i个向量,vij是广义特征向量）

\vec y_{ji}(x)=e^{\lambda_j x}[\sum_{m=0}^{n_j-1}\frac{x^m}{m!}(A-\lambda_jI)^m]\vec v_{ji}

设\phi(t)是线性齐次的基解矩阵，F(t)是方程组右侧的那个“常数项”。

则方程组的通解为

x(t)=\phi(t)(\int_{t_0}^t F(s) \phi^{-1}(s)ds +C)

解方程常用公式总结 第3篇

x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+a_2(t)x^{(n-2)}+\cdots+a_n(t)x=f(t)

向量形式：

\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=A\overrightarrow{x}+\overrightarrow{F}(t)

\begin{pmatrix} 0 & 1 &\cdots &0\\ 0 & 0 &\cdots &0\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ -a_n(t) & -a_{n-1}(t) &\cdots &-a_1(t)\end{pmatrix}

若函数组xi线性相关，则W(t)=0。(但是W(t)！=0不一定函数族线性无关)

高阶线性微分方程线性无关的解组的Wronsky行列式永不为0.（如果行列式有零点那就线性相关）

W(t)=W(t_0)exp(-\int_{t_0}^ta_1(s)ds)

自己看上面的方程，a1是次高导数项的系数

用途：一个k阶方程，已知了k-1个解，还差一个解，就把W(t)列出来，右边等于一个常数C乘上exp积分。

y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=0

跟之前一阶一样的，把导数换成次方解方程,拿到特征根塞给exp。如果有重根，就在exp前面堆多项式，如果有复根，就写成\rho e^{i\theta}然后分开设expsin+expcos，和组合数学那里一样的。

x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+a_2(t)x^{(n-2)}+\cdots+a_n(t)x=f(t)

ODE ppt讲这里没有一图流，直接看组合数学得了

常数部分=r^nb(n)

特解形式=n^m(k_0+k_2n+\cdots+k_qn^q)r^n

可以拆成三个部分相乘，第一部分：n的{重根}次方，第二部分：和等式右侧多项式次数相等的未定系数多项式，第三部分：直接把特征根部分搬下来

先把几个通解基搞出来，再把前面系数写成c(t)带进去解c（t）.等式常数部分怪怪的用不了凑特解就用这个。

设线性通解为y=c_1 x_1+\cdots+c_n x_n，则常数变易法得到的方程组为；

y''-y=xe^xcosx

y''+y=4sinx

用常数变易

y''+y=\frac{1}{sin^3x}

就不能叫什么欧拉第一方程 第二方程？还有个变分也叫欧拉方程

x^{n}y^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x)

特点：x的次数和y的导数次数一致

更新解法：更适合物理系思路的理解方式

令x=e^t

\dot y=y'\dot x=y'x

\ddot y=(y'x)'\dot x=(y''x+y')x=y''x^2+y'x

...

D(D-1)...(D-(n-1))y=x^ny^{(n)}

下面是原ppt讲法

令D=\frac{d}{dt}，则：

xy'=Dy

x^2y''=D(D-1)y

...

代回原方程，化为g(D)*y=\varphi(x)的形式，相当于是个非齐次线性方程，用特征方程随便解下就行了。记得最后把t换成x。

解方程常用公式总结 第4篇

公式法

首先要通过Δ=b2-4ac的根的'判别式来判断一元二次方程有几个根

1.当Δ=b2-4ac<0时 x无实数根(初中)

2.当Δ=b2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2

3.当Δ=b2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根

当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√(b2-4ac)}/2a

来求得方程的根

公式法就是解一元二次方程的万能方法，就是打开关键之门的钥匙。

解方程常用公式总结 第5篇

\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)

齐次通解：e^{\int P(x)dx}+C

常数变易法，得到非齐次通解：

e^{\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+C]

括号里再塞一个积分，用原方程的“常数（只含x）”部分除上齐次通解，积起来。

y'+\frac1xy=\frac{e^x}x

这太标志了。

\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)y^n

特点：把y'的系数清干净之后，还出现一项除了x以外带个一次的y（就是说和y'的y次数就相差一个），那就把第三项那个y^n等式两边同除了。

1^{\circ}y\neq 0，两端同除y^n，得：

y^{-n}\frac{dy}{dx}=P(x)y^{1-n}+Q(x)

令z=y^{1-n},则\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}，代入上式：

\frac{dz}{dx}=(1-n)P(x)z+(1-n)Q(x)

即化为关于z的线性方程。

2^{\circ}n> 0时，y=0也是原方程的解。

2yy'+2xy^2=xe^{-x^2}

总共三项，y'前面带一个y，还有一项带y平方，正好差一个y，OK伯努利登场。

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{xsin^2(xy)}-\frac{y}{x}

很明显这个就是硬蹭，不知道老师为什么把这个放ppt里。解法是z=xy，等式两边同乘x后可以拼出来个dz/dx.

\frac{dy}{dx}=\frac1{x+y}

方程倒过来（两边取倒数），然后爽解线性方程。

\frac{dy}{dx}=f(x)+P(x)y+Q(x)y^2

也是先把y'的系数清干净之后，还有三个座位允许你带y^0,y^1,y^2。只能通过已知特解推通解。

已知特解y*，则令z=y-y*，将y=z+y*带入原方程，化简一下就是伯努利方程了。

\frac{dz}{dx}=[P(x)+2y*(x)Q(x)]z+Q(x)z^2

\frac{dy}{dx}=y^2-\frac2{x^2}

先蒙个特解y=1/x，然后y=z+1/x代回即可。

解方程常用公式总结 第6篇

1、去分母：在观察方程的构成后，在方程左右两边乘以各分母的最小公倍数；

2、去括号：仔细观察方程后，先去掉方程中的小括号,再去掉中括号,最后去掉大括号；

3、移项：把方程中含有未知数的项全部都移到方程的另外一边，剩余的几项则全部移动到方程的另一边；

4、合并同类项：通过合并方程中相同的几项，把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

5、系数化为1：通过方程两边都除以未知数的系数a，使得x前面的系数变成1，从而得到方程的解。

解方程常用公式总结 第7篇

T(p)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt

f(t)=\frac1{2\pi j} \int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}T(p)e^{pt}dp

感觉有点像fly？

有没有觉得好像欧拉方程（完整版）（bushi

用来解决高阶线性很好玩，先做个变换：

s^2X(s)-2sX(s)+2X(s)= \mathcal{L} [2e^tcost]=\frac{2(s-1)}{(s-1)^2+1}

X(s)=\frac{2(s-1)}{[(s-1)^2+1]^2}

x(t)=te^tsint

x^2y''+xy'+(x^2-v^2)y=0

要用广义幂级数，感觉好麻烦

不是未完待更新，而是早就考完了

解方程常用公式总结 第8篇

乘法与因式分解：

a2-b2=(a b)(a-b)

a3 b3=(a b)(a2-ab b2)

a3-b3=(a-b)(a2 ab b2)

三角不等式：

|a b|≤|a| |b|

|a-b|≤|a| |b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|