最速降线问题总结 第1篇

显然，质点沿光滑的轨道从 A 运动到 B , 有

\mathbb{d}t=\frac{\mathbb{d}l}{\upsilon} =\frac{\sqrt{\mathbb{d}x^{2}+\mathbb{d}y^{2}}}{\upsilon} =\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\upsilon}\mathbb{d}x=\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}}\mathbb{d}x

\int_{t_{A}}^{t_{B}}\mathbb{d}t=\int_{x_{A}}^{x_{B}}\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}}\mathbb{d}x

我们要求该式取最小值，则

L=\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}}

\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{\delta L}{\delta y'}-\frac{\delta L}{\delta y}=0\\\Longrightarrow \frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{y'}{\sqrt{2gy(1+y'^{2})}}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}y} =\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{y'}{\sqrt{2gy(1+y'^{2})}}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}y}\\ =\frac{1}{\sqrt{2gy(1+y'^{2})}}(y''-\frac{y'^{2}}{2y}-\frac{y'^{2}y''}{1+y'^{2}})+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}y}\\ =\frac{2y''y+y'^{2}+1}{2y(1+y'^{2})\sqrt{2gy(1+y'^{2})}}=0\\\Longrightarrow 2y''y+y'^{2}+1=0

最速降线问题总结 第2篇

本人曾经根据光的传播时间最短即光程最短原理证明光的折射定定律，感兴趣的读者可以阅读

此篇文章证明光的折射定律采用了两种方法：一种是非常简单的几何方法，用微三角开相似直接证明的，其实也和求导没有本质区别；另一种方法是采用普通的求导方法证明的。

如下图，

根据折射定律，我们知道当光从一点传播到另一点时需要满足如下关系

\frac{\upsilon_{1}}{\sin\theta_{1}}=\frac{\upsilon_{2}}{\sin\theta_{2}}

才能保证传播时间最短，其中 \upsilon_{1}, \upsilon_{2} 分别表示在两种介质中的速度大小， \theta_{1}, \theta_{2} 分别表示入射角和折射角。因此，如下图所示

当质点沿光滑轨道下滑时，由动能定理，我们知道

gy=\frac{1}{2}\upsilon^{2}\Longleftrightarrow\upsilon=\sqrt{2gy}

其中 \upsilon 为运动速率， y 为下降高度， g 是重力加速度常数。由此可知，还率 \upsilon 仅仅与高度有关，因此我们类比光的折射，每一条水平线均可看作一种独立的介质。因此质点下落想保证时间最短需要时时折射，也就是保证 \frac{\upsilon}{\sin\theta}为定值，显然

y'=\cot\theta \Longleftrightarrow\sin\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}}

此处我们有 0<\theta<\frac{\pi}{2} , 因此只取正号。则 \sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^{2}} 为定值，即

y(1+y'^{2})=C

其中 C 为常数。对此式求导可得

2y''y+y'^{2}+1=0

最速降线问题总结 第3篇

假定我们已经点 A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}) , 对于任意一个函数 L(y, y', x) 沿 A 到 B 的路径上对 x 进行积分

S=\int_{x_{1}}^{x_{2}}L(y, y', x)\mathbb{d}x

取最小值的必要条件为

\delta S=\int_{x_{1}}^{x_{2}}(\frac{\delta L}{\delta y}\delta y+\frac{\delta L}{\delta y'}\delta y')\mathbb{d}x=\int_{x_{1}}^{x_{2}}(\frac{\delta L}{\delta y}\delta y\mathbb{d}x+\frac{\delta L}{\delta y'}\delta\mathbb{d}y)\\ =\int_{x_{1}}^{x_{2}}(\frac{\delta L}{\delta y}\delta y\mathbb{d}x+\frac{\delta L}{\delta y'}\mathbb{d}\delta y)=\frac{\delta L}{\delta y'}\delta y|_{x_{1}}^{x_{2}}+\int_{x_{1}}^{x_{2}}(\frac{\delta L}{\delta y}\delta y\mathbb{d}x-\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{\delta L}{\delta y'}\delta y\mathbb{d}x) \\=\frac{\delta L}{\delta y'}(\delta y_{2}-\delta y_{1})+\int_{x_{1}}^{x_{2}}(\frac{\delta L}{\delta y}\delta y\mathbb{d}x-\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{\delta L}{\delta y'}\delta y\mathbb{d}x)\\ =\int_{x_{1}}^{x_{2}}(\frac{\delta L}{\delta y}\delta y\mathbb{d}x-\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{\delta L}{\delta y'}\delta y\mathbb{d}x)=0\\ \Longleftrightarrow\int_{x_{1}}^{x_{2}}(\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{\delta L}{\delta y'}-\frac{\delta L}{\delta y})\mathbb{d}x=0\\ \Longleftrightarrow\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{\delta L}{\delta y'}-\frac{\delta L}{\delta y}=0

其中 \delta 符号表示变分，就是路径的变化，参见第一张图，它可以有很多路径，但是我们要的是 S 随路径变化率为零的路径，也就是取极值的路径。第三步是因为微分算符 \mathbb{d} 与变分算符 \delta 相互独立，因此可以交换顺序。第四步是分部积分。第六步是因为从 A 到 B 的路径端点固定不变，因此有 \delta y_{2}=\delta y_{1}=0 . 第七步是因为 \delta y 的任意性。第八步是因为在整条路径上最小也意味着第一段均是最小的，否则某一段变动导致更小则与最小矛盾。

\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{\delta L}{\delta y'}-\frac{\delta L}{\delta y}=0

称为欧拉——拉格朗日方程，是路径积分最短的必要条件。当我这个前提是函数 L 仅仅与 y, y', x 有关。