高一函数特点总结 第1篇

关键词 ：连续 可导 变限积分函数

1.研究背景

函数是微积分学的主要研究对象，其中函数的可导性是微积分学中的一个主要研究问题.高等数学的上册部分主要讲解了一元函数的微积分.面对形形的函数结构，初学者对函数的求导感到无所适从.在微积分及其后继课程中，经常会涉及变限积分函数的求导.变限积分函数作为一种特殊的函数，又不同于一般的初等函数，初学者对其求导法则的应用更是把握不清.鉴于以上原因，下文通过举例常见的几种结构式的变限积分函数的求导，对其做出了分析和总结，以求对初学者提供帮助.

2.正文

首先给出变限积分函数的基本求导法则.

定理[1]如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数 在区间 [a，b]上可导，且它的导数

推论1如果函数f（x）连续，函数φ（x）可导，则函数 的导数为 .

推论2如果函数f（x）连续，函数φ（x），ψ（x）均可导，则函数 的导数为 .

下面通过几个典型例子来解析变限积分函数的求导法则.

例计算

解根据推论2，由变限积分函数的求导法则得

. .

例计算 .

解在积分中t为积分变量，x作为上限可看作常量，故 .

从而由乘积函数的求导法则得

例计算 .

解在积分 中，积分变量为t，而被积函数cos（x-t）中不仅仅与变量t有关，还与变限积分函数的自变量x有关，所以不能直接应用变限积分函数的求导法则来求导，必须对被积函数或变限积分作等价变形.

（法一）对被积函数作等价变形.由于cos（x-t）=cosxcost+sinxsint，

（法二）对变限积分函数通过定积分的换元法作等价变形.

设x-t=u，则 ，

故 .

通过以上几个例子可以看出，遇到变限积分函数的求导时，首先要观察所给函数是否为变限积分函数的标准形式，也就是说积分中的被积函数是否只与积分变量有关，否则的话一定要首先对被积函数作等价变形或对变限积分通过换元法将其化为标准形式，然后应用对应的求导法则[2].

3.总结

变限积分函数，作为一种特殊形式的函数，涉及到了高等数学的主要内容.他是联结众多知识点的纽带，比如与变限积分有关的极限运算、利用变限积分证明一些积分不等式、借助变限积分判别级数的敛散性以及求解积分方程[3]，这些问题的解决都离不开变限积分函数的求导.因此正确地求解变限积分的导数是解决此类问题的前提.

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学.高等教育出版社第六版

[2]王翠萍.关于不同结构函数的求导.数学学习与研究

高一函数特点总结 第2篇

[关键词] 初等函数 复合函数 分解 单调性 导数

在多年高职高等数学教学的过程中发现,复合函数往往是最容易被老师忽略的部分,原因在于老师认为复合函数是学生在高中已经学过的内容,因此在教学时没有引起足够的重视。高职学生中部分学生的数学基础比较差,而函数本身则是整个高中最主要,也是最重要的知识,复合函数则是函数中所有知识点的汇总,相对于基本初等函数来说就更加不好掌握,老师一旦忽略复合函数的教学,就非常容易导致学生对高等数学产生惧怕的心理,从而影响教学质量。因此,对复合函数的教学进行强调是非常有必要的,现就本人多年来的教学经验谈一下如何让学生真正学好复合函数。

一、基本初等函数

二、复合函数的分解

三、复合函数单调性的判定

复合函数的判定可以推广到由有限个简单函数复合而成的复合函数,并且单调性可以由简单函数的个数来确定(简单函数在所讨论的区间均有意义,且均为单调函数),当简单函数的减函数的个数是奇数时,复合函数为减函数,当简单函数的减函数的个数是偶数时,复合函数为增函数。

四、复合函数的导数

前面所讲复合函数的分解,就是为复合函数的导数作准备,就函数的导数而言,基本初等函数的导数是作为导数的公式来应用,而复合函数的导数则是先将复合函数由“外向里”逐次分解出每个层次,再对其每个层次分别求导,最后用连锁法则y′x=y′u•u′x,得到复合函数的导数,在求复合函数的导数时,尽量要求学生用“心算”的方式完成每一个层次的求导过程,由于复合函数的结构形式复杂多样,不容易掌握,在应用法则对多层次复合的函数求导时,容易混淆变量或陋掉层次,造成计算错误,为了解决这个问题,可以采取下列方式。

(2)特别强调求导过程的每一步是求哪个变量对哪个变量的导数。在求导时,学生往往混淆变量或忘记中间变量对自变量求导,造成计算上的错误,为了防患未然,在开始阶段要求写出中间变量,右下脚注明对哪个变量求导,熟练后不写中间变量,但要知道每次是哪个变量对哪个变量求导。而通过教学实践证明,其实一开始就尽量不用写出中间变量,而是先让学生用“心算”后,再口术每一个中间变量,并明确是哪个变量对哪个求导,特别是对多个中间变量复合的函数,用“心算”的方式完成求导的过程更为简便。

(3)仅以此例说明对复合函数的求导

高一函数特点总结 第3篇

1.教材的地位

（1）本节在全书及章节的地位与作用

函数的单调性是研究函数分基石．函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。

（2）本节内容在高考中的地位和作用

它是高考重点考查内容之一。在函数定性分析及与其他知识的综合上都有广泛的应用。它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。

（3）新课程标准下它的变化

新课程标准下,高考要求新增内容和传统内容有机结合。函数与导数的综合、用导数解决函数单调性等问题就充分体现了如何使用新观点、新方法解决传统问题。

2.学情分析：

学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．学生容易理解概念，但是不能全面把握。

根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用以及学生的情况本节课应实现如下教学目标：

3.教学目标：

知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；

情感态度与价值观:在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．

4.教学重点和难点

教学重点：

（1）函数单调性的定义；

（2）用定义判断和证明函数的单调性

教学难点：

（1）函数单调性的知识形成；

（2）用定义证明函数的单调性

二、教法学法分析

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1.通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2.在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。

3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

在学法上我注重教会学生：

1.乐于探究、勤于动手

2.尝试质疑、交流合作

3.分析讨论、归纳总结

这样利于学生发挥学习主动性，使学生学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

三、教学过程设计

函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节。

（一）创设情境，提出问题

（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐），观察某地区气温变化图：

[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：

问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

[设计意图]从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，有利于定义的自然生成。

（二）探究发现 建构概念

[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．

[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，引导学生回答：对于自变量8

在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：

问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1

[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．

[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：

问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．

[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．

【教师活动】设计问题串

设计意图：通过精心设问给学生更多的思考时间和空间，变被动为主动，深化了学生的探索活动，深刻理解定义，无形中突破了本节课的难点！

（三）自我尝试 运用概念

1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．

[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．

[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．

[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数 的单调区间时写成并集．

[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．

2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？

[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较f(x1)与f(x2)的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．

[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．

[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值 作差变形 定号 判断．

[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．

（四）回顾反思深化概念

[教师活动]给出一组题：

[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.

[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.

（五）任务后延——自主探究

[教师活动]作业布置

[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯。使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．

（六）总结反思——提高认识

归纳小结：

1.函数单调性的定义

2.判断、证明函数单调性的方法：图象法、定义法、分类讨论、数形结合法

3.用定义证明单调性的步骤

高一函数特点总结 第4篇

一、函数的概念与表示

1、映射

(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素

①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

(1)分式的分母不为零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

(3)对数函数的真数必须大于零;

(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四.函数的奇偶性

1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3.奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2、设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

高一函数特点总结 第5篇

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.

当时,;当时,;当时,不存在.

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;

(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

(3)直线方程

①点斜式：直线斜率k,且过点

注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.

②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

③两点式：直线两点,

④截矩式：

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.

⑤一般式：(A,B不全为0)

注意：各式的适用范围特殊的方程如：

平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);

(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系

平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

(二)垂直直线系

垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

(三)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;

(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为

(为参数),其中直线不在直线系中.

(6)两直线平行与垂直

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.

(7)两条直线的交点

交点坐标即方程组的一组解.

方程组无解;方程组有无数解与重合

(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点

(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离

(10)两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.

高一函数特点总结 第6篇

知识点总结

本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

一、函数的`单调性

1、函数单调性的定义

2、函数单调性的判断和证明：（1）定义法（2）复合函数分析法（3）导数证明法（4）图象法

二、函数的奇偶性和周期性

1、函数的奇偶性和周期性的定义

2、函数的奇偶性的判定和证明方法

3、函数的周期性的判定方法

三、函数的图象

1、函数图象的作法（1）描点法（2）图象变换法

2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

常见考法

本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。

误区提醒

1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

高一函数特点总结 第7篇

一、教材编写的基础理念大幅度更新

新教材编写最大的变化是基础理念的更新，这一点在函数内容的编写中得到了充分的体现，具体体现在下面一些方面：

1.从学生的生活经验和已有的知识出发创设问题情境

新课标要求数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，从而提高学生的学习效率.因此新教材一改老教材直接给出函数的抽象定义的作法，在第一节中，首先就给出了几个生活中的变量关系，列举了实际生活中学生比较熟悉的汽车在高速公路上行驶过程中高速公路的里程数与速度关系，行驶路程与时间的关系，储油罐的储存量与油面高度的关系等，使学生比较直观地感知了函数关系，为进一步学习函数概念作了一个较好的铺垫.另外函数的单调性的学习是从北京市4月21日至5月15日期间，每日新增非典病例的变化统计图的分析开始的；指数函数的学习不是立刻得出抽象的指数函数概念，而是先提出学生接触过的正整数指数函数.

2.从问题出发引入数学概念

数学的发展源自于问题的发现和解决.新教材强调通过探索和解决问题，让学生体会数学定义的必要性、数学方法的合理性以及数学思维的一般性和严谨性，力求使学生在头脑中重现数学知识的发生发展过程.例如，在二次函数的图像一节中，先提出三个问题：y=x2与y=ax2(a≠0)的图像有什么关系?y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像有什么关系?y=ax2(a≠0)与y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系?然后画出一些二次函数图像，让学生感知图像间的关系，进而概括出二次函数图像的画法和形状，并拓展出画一般函数图像的方法和过程.对数一节中，通过提出并解决国民经济生产总值的问题，引入了对数概念.在实际问题的函数建模一节中，通过提出和解决人体代谢率受生活环境、温度改变的影响，成本收入和产量间的关系，通信电缆的长度等问题，让学生感知函数建模思想，总结出了数学建模的过程步骤.

3.倡导积极主动，勇于探索的学习方式

高中数学新 课程不仅要求学生进行接受、记忆、模仿和练习等学习活动，更倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，同时还设立了数学探究、数学建模等学习活动.新教材函数概念、二次函数的性质、正整数指数函数、指数扩充及其运算性质、换底公式、对数函数的概念等内容中，分别设置了分析理解栏目，要求学生对提出的问题和给出的实例进行理解、探究，自主地形成概念、公式、定理，让学生体验数学的发现和创造过程.新教材二次函数的图像、简单的幂函数、指数函数的图像与性质等内容中设制了动手实践栏目，要求学生动手画函数图像，并根据函数图像，观察图像特征，归纳函数性质.在对数的运算性质和指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较等内容中，要求学生动手进行一些计算，根据计算结果归纳出一些运算性质，总结出一些相关结论，以便运用于以后的学习中.教材每一节大都设置了思考交流栏目，在知识形成后，提出一些问题，要求学生既独立思考，又能相互交流、讨论，以加深对知识的理解.教材中还设计了“计算个人所得税”的课题学习和“同种商品不同型号的价格问题”的探索性学习.总之，教材为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了条件，达到了激发学生数学学习的兴趣，养成学生独立思考、积极探索的学习习惯的目的.

4.强调数学与物理等其他学科的联系，发展学生的数学运用意识

我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他基础学科的联系未能给予充分的重视，而高中数学新课程在这些方面得到了大力加强，兼顾了直观性、实践性和严谨性，注意了如何把实际问题表达为数学的形式，新教材中几乎所有新的数学概念或方法都强调了其实际背景，并且较详细地讨论了把实际问题转化为数学模型的过程，指出了转化的难点与解决方向.比如在生活中的变量关系一节中列举了汽车行驶路程问题，让学生根据物理知识从路程与时间的关系、路程与速度的关系了解变量间的关系，在指数函数与对数函数中，列举了人口问题、细胞分裂问题、国民经济生产总值问题，让学生通过解决这些实际问题，掌握指数函数与对数函数有关知识的实际应用.

5.注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程的内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，新教材提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的内容，在保证一定的运算训练前提下，鼓励学生尽可能地使用计算器和各种数学教育技术平台进行学习.在函数这部分教材中，很多小节都设置了信息技术应用栏目，列出了信息检索网址导引，让学生通过信息技术的运用，更好地理解函数的图像和性质，具体体现在：(1)应用几何画板等软件作函数图像，并研究函数的一些特征量对函数图像的影响；(2)根据特征量对图像的影响，总结出函数的性质；(3)收集数据，应用科学计算器处理数据.应用数学软件、图形计算器建立函数模型，可以使过程简单、方便、直观.总之，新教材较好地实现了数学课程与信息技术的有机整合，使学生能更好地认识数学的本质.

6.体现了数学的文化价值

数学是文化的一部分这一理念已为大多数人所认识，新教材除在字里行间渗透之外，还专门设立了阅读教材，如生活中的映射，函数概念的发展，历史上数学计算方面的三大发明，函数与中学数学等.

二、教材内容进行了增删，内容的要求更趋合理

较之九年义务制人教版教材，北师大版新教材函数的内容有不少的增删，对很多内容的要求作了一些调整，更趋于合理，下面分别列举.

1.教材中新增内容

新教材中增加了“二次函数性质的再研究”内容.二次函数是初等函数中最重要的一种函数，它在数学中的运用非常广泛，初中已经对二次函数的图像和简单性质进行了学习，但还不够全面、深入，新教材从变换的角度进一步介绍了二次函数图像，同时渗透了数形结合思想，还从单调性角度重新认识了二次函数的最值及其性质，为学生今后更好地运用二次函数知识打下了基础.新教材还增加了对简单幂函数的了解，毕竟简单的幂函数也是高中阶段的常见函数.在对数运算性质中，新教材增加了“换底公式”一节，换底公式可以将对数值化为以任何一个所需要的数为底(比如10或e)，这在对数的运算和变形中非常重要.教材中还增加了指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，通过对数据的处理，感知三种函数的增长速度的快慢，让学生理解三种函数的单调性，因而可以很好地解释和解决一些与直线上升、指数爆炸、对数增长有关的实际问题.函数的应用一章中，增加了利用函数性质判定方程解的存在和利用二分法求方程的近似解内容.数学中很多求解问题都是转化为求方程解的问题，很多方程运用解方程的方法很难解出来，这时用函数知识来处理，可以推知方程解的存在，还可以求出方程的近似解，这符合很多实际问题中只需知道近似解的需要，这部分知识的学习，使学生感受了近似思想、逼近思想、算法思想等数学思想.

2.新教材删减内容

相比于九年义务制教材函数内容，新教材中删除了互为反函数的函数图像之间的关系，这部分知识在老教材中也只是就知识讲知识，数学中的应用很少.

3.新教材提高了一些知识要求

新、老教材大部分知识是相同的，但有一些知识由于数学中应用比较多或对其他知识的理解有帮助，新教材提高了对这部分知识的要求，例如映射这节内容老教材中只是就映射讲映射，新教材中则应用映射定义函数，界明了函数与映射的关系，从而更好地理解函数概念，另外映射中还定义了一一映射概念.在老教材中函数的应用相对简单，只是列举了一些应用函数知识解决实际问题的例题，并以实习作业形式研究建立实际问题的函数模型；而新教材中，函数运用的要求则大为加强.这体现在函数与其他数学知识的结合，集中研究根据函数特征判定方程实数解的存在性及求方程的近似解；函数与实际问题的联系，课本以正式学习内容形式介绍了函数建模思想和步骤，进一步体现了函数思想和函数应用的价值.

4.新教材降低了部分知识的要求

老教材中有些知识既抽象且在后续内容的学习中运用又较少，比如反函数概念，函数的奇偶性等，新教材降低了对这些知识的要求，只是在学习指、对数函数时，让学生感知了反函数概念，指出了指、对数函数互为反函数的关系，而没把反函数独立成节，更没涉及到互为反函数的图像间的关系.函数的奇偶性也未独立成节，只是在简单的幂函数一节中给出了感知性的概念，奇偶性的图像特征也未能用定理形式给出，只是根据奇偶函数图像进行了了解.

三、新教材更换了一些例题和习题

在保留老教材大部分精典题的基础上，新教材对例、习题作了一些调整，有增、有删、有换.比如，例题、习题的选配体现了数学与社会生活的紧密结合，更强调数学的实际应用，新教材函数概念一节中，把诸如求函数的定义域和值域的例题换成了一个关于某海拔7500米的山上，气温随高度变化的函数定义域和值域问题，这是社会生活中常见问题；第二章函数复习题二中增加了“同学们用零用钱援助失学儿童”，“居民每月的煤气费使用问题”；第四章函数应用复习题四中配备了“工厂通过增加环保意识，改变生产环境而提高生产效益”问题.这些问题充满时代气息，反映当前社会的一些热点焦点问题，学生通过解决这些问题，既了解了社会，又受到了爱心教育，增加了社会责任感，同时增加了环保意识.对数函数的图像和性质一节中，增加了放射性物质的衰减现象问题，通过计算，估算物质年代；第四章复习题四中配置了“辽东半岛考古挖掘出的古莲子生活年代”问题，这些问题使学生了解了历史，增长了知识，同时又增强了数学与考古学、物理学等其他课程联系的意识.

由于对知识要求的提高而增加了一些例题和习题，从整体上看，新教材强化了函数一章的要求，大部分知识进行了拓展和延伸，既强调提高数学思维能力，又注意渗透数学思想方法，这些从增加的例题和习题中可以看出.

①突出分段函数

函数的表示法一节的思考交流中，给出了由一些散点组成的分段函数图像，加深了学生对分段函数的理解，教材上还增加了一些求分段函数表达式和画分段函数的练习，且难度超出老教材，比如第二章复中，增加了画f(x)=x2+4x+3(-3≤x≤0),

-3x+3(0≤x≤1),

-x2+6x-5(1≤x≤6)的图像并讨论f(x)性质的题，对学生的要求较高.

②丰富了作函数图像的手段，应用了数形结合的数学思想

函数图像的画法及图像的应用是函数知识中一个重要内容，新教材在“二次函数的图像”

一节动手实践题目的练习1中，介入了平移的方法，通过变换画函数图像.在“简单幂函数”一节的动手实践中，用奇偶性作了函数图像，在B组练习中，增加了y=|x|与y=|2x-3|及y=2|x|-1图像间关系的讨论.在指数函数的图像和性质中，增加了例3：在同一坐标系中画y=2x与y=(12)x的图像并比较图像间的关系.在该节的习题3-3中增加了习题：根据y=ax、y=bx、y=cx的图像，比较a、b、c的大小，并讨论底数大小与图像形状间的关系.在“函数的表示法”一节中，增加了练习：判断已知图形是否为函数图像.让学生从图像角度理解函数概念，增加函数概念的直观感受.在“对数函数的图像和性质”一节的习题3-5中，增加了习题：根据函数y=logax与y=logbx与y=logcx的图像，比较a、b、c的大小.这些题要求学生不仅掌握指、对数函数的形状，还要掌握底数大小对图像形状的影响，并能根据图像比较底数大小，题目的设计渗透了数形结合的思想.

③其他题的变化

高一函数特点总结 第8篇

集合的有关概念

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N

子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);

2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)

3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

5)补集：CUA={x|xA但x∈U}

注意：A，若A≠?，则?A;

若且，则A=B(等集)

集合与元素

掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

子集的几个等价关系

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

有限子集的个数：

设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

练习题：

已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x=,m∈Z};对于集合N：{x|x=,n∈Z}

对于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

高一函数特点总结 第9篇

一、授人以鱼，不如授人以渔

古人云：“授人以鱼，不如授人以渔。”也就是说，教师不仅要教学生学会，而且更重要的是要学生会学，这是二十一世纪现代素质教育的要求。这就需要教师要更新观念，改变教法，把学生看作学习的主人，培养他们自觉阅读，提出问题，释疑归纳的能力。逐步培养和提高学生的自学能力，思考问题、解决问题的能力，使他们能终身受益。

1.在课前预习中培养学生的自学能力。

课前预习是教学中的一个重要的环节，从教学实践来看，学生在课前做不做预习，学习的效果和课堂的气氛都不一样。为了抓好这一环节，我常要求学生在预习中做好以下几点，促使他们去看书，去动脑，逐步培养他们的预习能力。

1、本小节主要讲了哪些基本概念，有哪些注意点？

2、本小节还有哪些定理、性质及公式，它们是如何得到的，你看过之后能否复述一遍？

3、对照课本上的例题，你能否回答课本中的练习

4、通过预习，你有哪些疑问，把它写在“数学摘抄本”上，而且从来没有要求学生应该记什么不应该记什么，而是让学生自己评价什么有用，什么没用（对于个体而言）

少数学生的问题具有一定的代表性，也有一定的灵活性。这些要求刚开始实施时，还有一定困难，有些学生还不够自觉，通过一个阶段的实践，绝大多数学生能养成良好的习惯。另外，在课前预习时，我有时要求学生在学习过程中进行角色转移，站在教师的角度想问题，这叫换位思考法。在学习每一个问题，每项学习内容时，先让学生问问自己，假如我是老师，我是否弄明白了？怎样才能给别人讲清楚？这样，学生就会产生一种学习的内驱力，对每一个概念，每一个问题主动钻研，积极思考，自觉地把自己放在了主动学习的位置。

2.在课堂教学中培养学生的自学能力。课堂是教学活动的主阵地，也是学生获取知识和能力的主要渠道。作为数学教师改变以往的“一言堂”“满堂灌”的教学方式显得至关重要，而应采用组织引导，设置问题和问题情境，控制以及解答疑问的方法，形成以学生为中心的生动活泼的学习局面，激发学生的创造激情，从而培养学生的解决问题的能力。

在尊重学生主体性的同时，我也考虑到学生之间的个体差异，要因材施教，发掘出每个学生的学习潜能，尽量做到基础分流，弹性管理。在教学中我采用分类教学，分层指导的方法，使每一位同学都能够稳步地前进。调动他们的学习积极性。对于问题我没有急于告诉学生答案，让他们在交流中掌握知识，在讨论中提高能力。尽量让学生发现问题，尽量让学生质疑问题，尽量让学生标新立异。

在课堂教学中，我的一个主要的教学特征就是：给学生足够的时间，这时间包括学生的思考时间、演算时间、讨论时间和深入探究问题的时间，在我的课堂上可以看到更多的是学生正在积极的思考、热烈的讨论、亲自动脑，亲自动手，不等不靠，不会将问题结果完全寄托于老师的传授，而是在积极主动的探索。当然数学教学过程作为师生双边活动过程，学生的探索要依靠教师的启发和引导。在教学过程中，我也从来没有放弃对于学生的指导，尤其在讲授新课时，我将教材组成一定的尝试层次，创造探索活动的环境和条件。让学生通过观察归纳，从特殊去探索一般，通过类比、联想，从旧知去探索新知，收到较好的效果。

3.在课后作业，反馈练习中培养学生自学能力。

高一函数特点总结 第10篇

如何让学生在数学探究学习中成长，可以从如下几个方面去实践：

一、在自主学习中探究

新课标的教学理念突出地体现了教师在教学中要以学生为本的教学思想，教师要非常重视学生参与学习新知识的过程，而且要大胆地运用学生的各种感觉器官探索研究、促使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和生活中的亲身体验上升为数学的科学规律、科学结论，让生活中获得的直接经验和间接经验通过数学的探究有交融点，做到理论和实践和谐统一，形成科学的、系统的数学知识，为学习更深层次和相关学科打下坚实的基础。

比如学习因式分解这部分内容，首先要让学生在自主学习中明确因式分解的知识结构：一是因式分解的定义；二是因式分解的基本方法——提取公因式法和公式法，公式法又分为平方差公式和完全平方公式。其次指出学生在自主学习中明确知识方法的归纳。因式分解：把一个多项式化为几个因式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；公因式：几个单项式的公因式，确定公因式的方法是：系数——取多项式的各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。提取公因式法：逆用乘法分配律，如ma+mb+mc=m(a+b+c);乘法公式逆用。利用平方差公式a2 – b2 =（a+b）（a-b）；利用完全平方公式：a2 -2ab+b2=（a+b）2， a2-2ab+b2=（a-b）2。同时还要在自主学习中明确因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提出公因式；②如果各项设有公因式，那么可以尝试运用乘法来分解；③分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止。再次是要在自主学习中加强训练，特别是比较特殊的因式分解训练。

总之，学生在自主学习中，教师也要加强指导，指出一条路让学生去探究，去理解，去掌握知识，并且能运用知识，学生经过自己探究得来的知识和运用知识的方法是牢固的，可以说终生受用。

二、在情境中探究

新课标明确指出：“数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，从而提高学生的学习效率。”数学课堂教学中，教师创设问题情境的目的，是引发学生的认识冲突，激发学生学习数学的动机和兴趣，以便提高课堂效果。实践证明，巧妙的问题情境能激活学生的思维，激发学习求知欲，产生好奇心，让学生在问题情境中去探究问题，把数学课上得生动活泼，充满艺术氛围。如教学无理数的知识时，教师可以这样创设情境，我们在数学学习中都明白了有理数都可以用数轴上的点来表示，那么数轴上的点都是有理数吗？如图：

作边长为1的正方形，以O为圆心，对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的是多少？“2”“3”表示的数是多少？它是整数或分数吗？

让学生在这样的情境中探究，探究其结果的热情自然高涨，也达到了提高数学课堂教学效果的目的。

三、在合作中探究

在数学课堂教学中，教师要给学生提供合作探究的平台，鼓励学生与学生之间，学生与教师之间交流合作，探究问题，让学生在讨论、质疑的基础上发现知识的规律，进而运用规律，提高自己解决问题的能力。让学生在合作中探究，能很好地形成探究学习的氛围，培养学生的参与意识，培养学生合作精神和团队意识，有效地提高学生发现问题，分析问题和解决问题的能力。例如教学一次函数与反比例函数，总结其知识的结构系统时，教学时就可以把学生分成两组，一组总结一次函数的知识结构系统，另一组总结反比例函数的知识结构系统。教师指导一组学生在合作学习时应让学生掌握好一次函数正比例函数y=kx（k=o），k为常数的图象与性质；y=kx+b（k=b，k，b）为常数的图象与性质；一次函数的应用；根据实际问题建立一次函数模型，根据一次函数的图象及性质解决实际问题。教师指导另一组学生在合作学习时也应让学生掌握反比例函数的解析式图象性质及反比例函数的应用等。也可以给出一个例题，一个组解题，另一组分析，点题。例如：已知一次函数y=x+m与反比例函数y=x的图象在第一象限的交点为p（x、02），（1）：求xo及m的值；（2）求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标；（3）求同一坐标内画出它们的图象，并写出使一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围。教师一边指导学生在合作学习中求得答案，一边指导另一组对这道题进行分析：让学生在合作学习中明确，根据函数图象与函数表达式之间的关系，点（xo，yo）在函数图象上，则xo，yo满足函数的表达式，所以两个函数图象的交点的坐标就是它们的函数表达式组成的方程组的解，由交点为p，将点p的坐标分别代入一次函数y=x+m与反比例函数y= 中，即可解（1）（2）（3），问一次函数的图象是一条直线，只需过已知两点作直线即可，画反比例函数图象可先画它在第一象限内的图象，然后利用对称作出另一半，一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围从函数图象上看就是一次函数的图象在反比例函数图象的下方那一部分x的取值范围，培养了学生探究问题的能力。 转贴于

学生在合作学习中探究，既发挥了学生的主体作用，让学生之间互相合作，互相竞争，又挖掘了学生个体学习的潜能，使学生在互补促进_同提高。同时活跃了课堂教学的气氛。

四、在拓展延伸中探究

数学教学中开放性练习是培养学生探究能力不可缺少的重要组成部分，进行开放性练习的探究，开拓了学生的视野，改变他们既有的思维定势，让他们能从多角度，多方位，多层面去观察思考问题，掌握新方法或是一题多解的方法，以求得探究问题的完美性，同时很好地挖掘学生的潜能，提高学习效果。

例如：如图1RtABC中，∠ACB=900。AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P与AC不重合），设PC=X，点P到AB的距离为y，（1）：求y与x的函数关系式；（2）：试讨论以P为圆心，半径为X的图与AB所在直线的位置关系，并指出相应的X的取值范围。

教师在教学时引导学生作答：（1）过P作PQAB于Q，则PQ=y，如图2：题意得：BC= =3，连结BP，SABC=SPBC+SAPB，6= 1/2 ×3χ+ 1/2×5y

所以Y=-3/5 χ+ 12/5 ，（0

高一函数特点总结 第11篇

关键词：整体化教学；高中数学；教学质量

整体化教学是近年来提出的一种要求按人的认识规律和知识体系来重新组织教材进行课堂教学的方法。其目的是：（1）培养学生自学阅读能力和整体上把握分析、归纳、整理知识的能力。（2）通过“整体――局部――再整体”的教学试验，使学生了解知识的来龙去脉，从而掌握获取新知识的能力。（3）减少课时，增加课堂学习，减轻学生过重负担，提高教学质量。

整体教学的核心是改革教学内容。这就是说，在教学过程中，不一定按照课本的顺序一页一页地讲授，而是抓住概念间的联系，把同类知识相对集中，把反映一件事的零散知识相对集中，在教学实践中，对每章教材先进行通盘考虑，弄清这一章的知识结构与内在联系，然后制订整体教学方案。这个方案一般包括五个阶段：即整体知识与理解阶段，整体矾固与保持阶段，整体掌握与应用阶段，整体归纳与总结阶段，整体反馈与矫正阶段。

例如：高中代数《幂函数，指数函数和对数函数》这一章，按照课本的顺序是函数的概念――幂函数――函数的单调性――函数的奇偶性――反函数――指数函数――对数函数。这个结构安排是把抽象的函数概念与性质和具体的函数概念与性质交叉安排的。函数是一个整体，这个整体既包括抽象的函数概念和性质，又包括具体的函数及其性质。因此，在安排教材时，可把函数的单调性、奇偶性和反函数提前讲授，使学生对函数的概念及性质有一个完整认识，然后再讲指、对数函数。这样安排，学生就可以自己根据函数性质研究的要求，进行自学和讨论，顺理成章地学好这部分的内容，以至于以后再学习三角函数和反三角函数时就容易得多了。

由于把同类知识相对集中，学生在学习中，不是孤立地学习各个知识点，而是抓住了联系这些知识点的链条，在知识点的结合上作文章，使学得的知识比较系统、深刻。

下面就以《三角函数》一章为例，谈谈我用整体化思想对这部分教材的处理，希望老师们批评指正。

讲授《三角函数》一章时，我打破了章节教学模式，按知识体系分成组块和单元，将教材处理如下：

这样处理的理由是：角的概念的推广和弧度制的建立为进任意角的三角函数奠定基础，用坐标定义任意角三角函数，概括了函数基本特征，同时由三个基本元素推导出同角三角函数的八个基本关系式，从而形成有机整体，为求值、化简、证明提供方法和依据；诱导公式是从这定义出发而产生与任意角相一致的一套转化公式，体现了数学的实践性和完备性，从而优化知识结构，使知识形成有机整体。

从三角函数线出发定义三角函数，运用单位圆使三角函数几何化，通过三角函数的图象，运用数形结合和研究函数性质的一般规律所产生的知识迁移，让学生在直观观察，联想思维中归纳总结出三角函数的性质。

知识组块后，在教学时，我按如下过程和方法进行：

“读”：把组块放下去让学生自行阅读，并按教师设计的自学阅读提纲进行，做到读中有思，读中有练，读中有结，从而在自学中整理知识与知识间的网络框架，提出自学中学生的疑问和困惑，让学生一开始了解整体知识的总体背景和层次，建立起进一步学习具体知识的思维网络，激发新旧知识间进行联想的思维动机，引导探究新知识的欲望。

“议”：归纳学生在自学中的疑问和困难，组织讨论，教师重点质疑，这当中有整体了解的质疑还有局部探究的辨析，使学生由表及里逐步理解知识的来源和流向。

“究”：以单元为小的组块，设计自学提纲，图形启发，图表归纳等手段，引导学生探究概念的内涵和外延；运用数形结合的方法进行知识迁移，引导学生自行归纳出三角函数的性质。

“练”：设计课堂练习，让学生在自学阅读中将所获取的知识，进行品味和反思，从微观和宏观层次上深入领会知识问题的相互依存和影响，掌握它们之间的协调和制约关系，辨析其本质区别所在，帮助学生灵活运用所学知识提高分析问题、解决问题的能力。

“结”：抓住学生在课内外自学练习中所获取的信息反馈，有针对性举例，让学生对所学知识进行再整理，并在整理中进行小结归纳概括，并总结解题方法和技巧，深化对概念的理解和应用。

这样处理教材后，不仅培养了学生的自学阅读能力和归纳、整理知识的能力，使学生了解了知识的来龙去脉，进一步掌握了获取新知识的能力，而且减少了课时，增加了课堂练习，减轻了学生的负担，提高了教学质量。

整体化教学为学生提供的学习情景和采用的教学方法为学生创造了更多的思维时间和空间，有利于调动学生的积极性和主动性，使学生自觉成为学习的主人。

高一函数特点总结 第12篇

高考数学指数函数对数函数公式

(1)定义域、值域

指数函数

应用到值 x 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 ，还叫做欧拉数。

一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R);

定义域：x∈R，指代一切实数(-∞，+∞)，就是R;

值域：对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。所以值域为(0,+∞)。a=1时也可以，此时值域恒为1。

对数函数

一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

(2)单调性

对于任意x1，x2∈D

若x1

若x1f(x2)，称f(x)在D上是减函数

(3)奇偶性

对于函数f(x)的定义域内的任一x，若f(-x)=f(x)，称f(x)是偶函数

若f(-x)=-f(x)，称f(x)是奇函数

(4)周期性

对于函数f(x)的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数 (1)分数指数幂

正分数指数幂的意义是

负分数指数幂的意义是

(2)对数的性质和运算法则

loga(MN)=logaM+logaN

logaMn=nlogaM(n∈R)

指数函数 对数函数

(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指数函数

(2)x∈R，y>0

图象经过(0，1)

a>1时，x>0，y>1;x<0，0< p=__>

a> 1时，y=ax是增函数

(2)x>0，y∈R

图象经过(1，0)

a>1时，x>1，y>0;0

a>1时，y=logax是增函数

指数方程和对数方程

基本型

logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1)

同底型

logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1)

换元型 f(ax)=0或f (logax)=0

高一函数特点总结 第13篇

一、教学内容

函数的奇偶性、周期性和对称性是函数的重要性质，是研究函数的重要工具，也是高考热点。本节课是在复习了奇偶性、单调性、周期性及基本初等函数后的一节内容，也是函数性质的综合应用。

二、学情分析

学生对函数对称性有了基本了解，但缺乏深入的研究，抽象思维能力弱，对问题隐含的“对称性”不能正确理解、区分、运用，原因是不能将符号化的语言向描述性语言或图形语言转化。基于以上分析制订了本节课的重点和难点。

重点：函数对称性等性质综合应用和符号化语言的转化。

难点：掌握描述性的语言和符号语言之间的转化。

三、教学过程

1.师生共同探究

例.函数f（x）=x2+bx+c对于任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），则f（1），f（2），f（4）大小关系是 。

（1）设计意图

从学生熟悉的二次函数对称引导其关注自变量，掌握符号化语言和描述性语言之间的转化，正确理解f（1+t）=f（1-t），从“关注函数自变量具有什么关系时函数值才能相等”的代数角度分析对称。

（2）问题启发

①现在的问题是什么？

②一般的，如何比较几个数的大小？

③这几个数是二次函数的函数值，如何比较大小？

④如何判断二次函数的单调性？

⑤如何理解f（1+t）=f（1-t）这个数学表达式？它反映了函数的什么性质？

（3）反思

学生一般先画图，教师可追问上面的问题，帮助学生转化符号语言：在x轴上，自变量所取的两个值在轴上所对应的点是以1为中点，其对应的函数值相等。对任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），图象又有什么特征？显然图象关于x=1对称。故函数在（1，+∞）上单调递增，则f（1）

由上例可知：若函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x）， 则图象关于直线对称。教师可继续启发并由学生自主探究。

追问1：若函数数f（x）满足f（2-x）=f（x），图象有什么特点？你是怎样发现的？

追问2：你能写出“函数f（x）关于直线x=a对称”的数学表达式吗？

结论1：f（x）图象关于x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（2a-x）=f（x）。

2.小组合作，自主探究

【探究一】

例1.若函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），图象有什么特征？你是怎样发现的？

（1）设计意图

引导学生分析自变量，得到函数图象中心对称，培养其观察探究能力与合作精神。充分思考并对比结论1符号化语言的意义，探究自己的结论。

（2）问题启发

在x轴上，自变量所取两个值所对应的点还是以1为中点，且其对应的函数值相等吗？如果不是，哪些地方变了？（在x轴上，自变量所取两个值所对应的点以1为中点，函数值互为相反数，故关于点对称）。

结论2：函数f（x）图象关于点（a，0）对称的充要条件是f（a+x）+f（a-x）=0，即f（x）+f（2a-x）=0

追问：你还能说出函数f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件吗？[f（x）=f（2a-x）=2b]

（3）反思： 学生类比引例，得出关于点对称的充要条件，教师可指导学生多表达。

【探究二】

例2.在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（ ）

A.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

（1）设计意图

巩固对称性的符号表达，引导学生探究两次轴对称可得到周期性。

（2）问题启发

①现在的问题是什么？

②一般的，如何判断函数的单调性？

③这个函数没有给解析式，怎样判断它在某区间上的单调性？

④画出示意图，还能得出什么结论？为什么会产生周期？

⑤你能说出一个一般性结论吗？

结论3：若函数y=f（x）图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称 （a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

（3）反思

教师搭建问题台阶，引导学生数形结合，发现周期性和对称性的关系。

【探究三】

例3.设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（）= （ ）

（1）设计意图

引导学生对已知一段解析式的函数性质进行探究。发现具有周期性的奇函数也具有对称性。

（2）问题启发

①现在的问题是：已知自变量的取值求函数值。

②一般的，如何求函数值？

③这个函数的解析式是已知的吗？

④只知道函数在一段区间的解析式，怎么求其他区间上的函数值呢？

（3）反思

高考常考查分段函数的周期性和对称性，学生利用周期性和奇函数易得结果，但画图得知函数有周期且为奇函数，故得知又有对称性。

3.归纳小结

高一函数特点总结 第14篇

一、高中数学新课程中函数的设计思路

随着新课程改革的推行，高中数学的教学内容与教学目的也有较大的变动，在函数的设计思路上一方面要注意克服函数本身的难度，另一方面，还应该符合新课程改革的要求.

1.注意高中数学函数教学内容上的过渡

高中数学函数教学内容上的过渡是指从初中数学函数的教学内容过渡到高中数学函数的教学内容.初中阶段对数学函数已经有了基本的认识，首先是通过映射了解了函数的定义，其次对函数的解析式、定义域值域等问题也有涉及，并且以一次函数为例进行了全面的学习.因此高中数学新课程中函数的教学需要着眼于初中数学函数教学内容，一方面注意对初中函数内容的回顾，从基础着手，带领学生解决初中的遗留问题；另一方面，注意在初中数学函数的基础上融入高中数学新课程中的函数教学内容.学生在高中数学新课程中的函数学习过程中，不仅能够巩固在初中阶段所学的函数知识，增强了对高中数学新课程中的函数的熟悉程度.

2.注意高考函数的命题方向

在新课程改革背景下，高中教学阶段以推行素质教育为主.但是，在高中教学中仍然要关注高考的方向.近年来，数学高中试题中函数的分值所占的比重越来越大，并且常常将函数与高中数学新课程中的其他课程内容相结合起来考查.高考的目的在于筛选人才，是通过考查学生的能力来体现的.因此在高考数学试题中，不仅要考查学生的基本知识储备，同时需要考查学生的综合能力.将高中数学新课程中的函数课程内容与高中数学新课程中的导数教学内容或者概率教学内容相结合，一方面考查学生对高中数学理论知识的掌握程度，另一方面考查了学生对高中数学理论知识的应用能力.高中数学新课程中的函数可以根据高考试题为设计方向，从而提升学生应对高考数学的能力.

3.注意函数思想在课程设计中的应用

函数思想是长期以来在高中数学函数教学中总结出来的学习函数的规律与方法.具体说来，函数思想是高中数学新课程中函数的变换与对应观念、构造性与模型观念、数形结合观念等，这些思想在高中数学函数的教学中发挥着至关重要的作用.高中数学新课程中的函数教学以培养学生的学习能力与抽象能力、观察能力为目的，函数的这些思想不仅可以帮助高中数学教师实现成功的函数课堂教学，同时让学生掌握正确的学习方法以及应用方法.通过对函数思想的把握，高中数学新课程中的函数教学才能实现高效教学.

二、高中数学新课程中的函数教学策略

根据以上对高中数学新课程中的函数的涉及与分析，高中数学新课程中函数的教学也需要根据新课程改革的要求做一定程度的调整，既要做到符合新课程标准的要求，又要引导学生找到适合自己的学习函数的方法.因此，高中数学新课程中的函数教学策略还需从以下几个方面改善：

1.采用函数概念发展历史为引导

由于学生在初中阶段已经认识函数，因此在高中数学新课程中的函数教学可以将函数的概念发展历史作为引导，这一方面让学生回顾初中学习的知识，另一方面利用函数概念发展的历史来吸引学生的兴趣，为学生学习困难、枯燥的函数知识增添光彩.函数概念的发展历史一般是高中数学新课程中函数的教学较为忽略的一点，认为这些内容与高中数学教学没有关系.但是，通过函数概念发展历史的讲述，学生从根源上了解函数，能够在初中的基础上对函数有进一步了解，同时还可以激发学生的兴趣，通过函数概念发展历史的讲述引起学生的好奇心，增强学生的学习动力.

2.采用启发式教学方式

高中数学新课程中的函数教学最大的特点是抽象性思维较强，因此只靠教师单方面的讲授是很难让学生理解到函数的知识要理，同时限制了学生的思维空间，难以达到函数的教学要求.因此在高中数学新课程中函数的教学过程中采用启发性教学方式，通过问题的设置，引起学生的兴趣，激发学生的思维，让学生参与到高中数学新课程中函数的基础知识与一般规律的推导过程中来.但是在启发性教学方式中，教师首先应该注意学生的知识水平与函数的难易程度，设置出合理的、科学的问题，其次还应该注意函数的多种表达方式，鼓励学生通过自己的理解归纳出不同的函数表达方式来.通过这样的过程，一方面加深了学生对函数的印象，另一方面提高了高中数学函数的教学质量.

3.采用合作探究学习方式

合作探究学习方式是新课程改革背景下常用的一种教学方式，在高中数学新课程中函数的教学中同样起着很大的作用.合作探究学习让学生以分组的形式，发挥其主观能动性，让学生成为课堂上的主人.通过这种合作探究式的学习方式，能够调动学生的思维积极性，诱导学生主动去思考问题并解决问题.传统数学课堂的填鸭式教学很难使学生真正主动去寻求解题方法，因而许多学生在课堂上不求甚解，甚至选择课后消化教师所讲授的方法，实为事倍功半之举.合作探究的学习方式使得学生在课堂上能够第一时间地思考解题方式，并在与教师的合作中多次且反复地理解教学内容，既丰富了课堂氛围，又提高了学生的学习效率，从而提高教学质量.

4.注重多媒体技术的应用

高一函数特点总结 第15篇

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

（一）例题剖析：

(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域

思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。

例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）例2.若函数f(x)1x1，则函数ff(x)的定义域为______________。

1x1解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1

即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1即1，解得x1且x2

1x1x1f(x)1

故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域

思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。

例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5

即函数f(x)的定义域为1，5

2例4.已知f(x4)lg2x2x8，则函数f(x)的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2x22x8，知

x22x80

解得x244，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)

（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域

思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。

例5.若函数f(2x)的定义域为1，1，则f(log2x)的定义域为____________。

1解析：f(2)的定义域为1，1，即x1，1，由此得2，2

2xxf的作用范围为

1，22又f对log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定义域为

12，4

2，4

评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：

21、已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。

答案：[1,1]

2、已知函数f(32x)的定义域为[3,3]，求f(x)的定义域。

答案：[3,9]

3、已知函数yf(x2)的定义域为(1,0)，求f(|2x1|)的定义域。

(12,0)(1,3)答案：

4、设fxlg2xx2，则ff的定义域为（）

x22,2x20得，f(x)的定义域为x|2x2。故解：选C.由，解得。故ff的定义域为4,11,4

2x5、已知函数f(x)的定义域为x(［解析］由已知，有1ax3,13x,)，求g(x)f(ax)f()(a0)的定义域。22a221x3,.,

x（1）当a1时，定义域为{x|（2）当

32a32}；a2a，即0a1时，有a2x32a}；

12a2a，

定义域为{x|（3）当

32a32a，即a1时，有1x32a}.12aa2a2，

定义域为{x|2a故当a1时，定义域为{x|xx32a32}；

当0a1时，定义域为{x|a}.

［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.

证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使ax1x2b

因为ug(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),

u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，

故函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.（2）．复合函数单调性的.判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增减减增减减减增以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：确定函数的定义域；

将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。分别确定分解成的两个函数的单调性；

若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。

（4）例题演练例1、求函数ylog212(x2x3)的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域x2x30x3或x1

单调减区间是(3,)设x1,x2(3,)且x1x2则

y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底数0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是减函数22121

同理可证：y在(,1)上是增函数［例］2、讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性.［解］由3x22x10得函数的定义域为

1{x|x1,或x}.

3则当a1时，若x1，∵u3x22x1为增函数，∴f(x)loga(3x22x1)为增函数.

若x13，∵u3x22x1为减函数.

∴f(x)loga(3x22x1)为减函数。

当0a1时，若x1，则f(x)loga(3x22x1)为减函数，若xf(x)loga(3x22x1)为增函数.

13，则

例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2-a>0是减函数

由y=loga(2-a)在［0，1］上x的减函数，知y=logat是增函数，∴a＞1

由x［0，1］时，2-a2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2

当0例4、已知函数f(x2)ax2(a3)xa2（a为负整数）的图象经过点

(m2,0),mR，设g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).问是否存在实数p(p0)使得

F(x)在区间(,f(2)]上是减函数，且在区间(f(2),0)上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知f(m2)0，得am2(a3)ma20，其中mR,a0.∴0即3a22a90，解得

1273a1273.

∵a为负整数，∴a1.

∴f(x2)x4x3(x2)21，

2242即f(x)(x)f[f(x)](x1)1x2x，

∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.

假设存在实数p(p0)，使得F(x)满足条件，设x1x2，

22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3，当x1,x2(,3)时，F(x)为减函数，

220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0，∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①

当x1,x2(3,0)时,F(x)增函数,∴F(x1)F(x2)0.

220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②

，故存在p116.

（5）同步练习：

1．函数y＝logA．（－∞，1）C．（－∞，

3212（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）

B．（2，＋∞）D．（

32），＋∞）

解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）

在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．

答案：B

2找出下列函数的单调区间.

（1）yax（2）y223x2(a1)；.

x22x3答案：(1)在(,]上是增函数，在[,)上是减函数。

2233（2）单调增区间是[1,1]，减区间是[1,3]。

3、讨论yloga(a1),(a0,且a0)的单调性。

答案：a1,时(0,)为增函数，1a0时，(,0)为增函数。4．求函数y＝log13x（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函数的值域是R．因

为函数y＝log13（x2－5x＋4）是由y＝log13（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函

52数y＝log13（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

上为减函数，在［

52，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝log13（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝log13（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也

为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝log313（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

变式练习一、选择题

1．函数f（x）＝log

A．（1，＋∞）C．（－∞，2）

12(x－1)的定义域是（）

B．（2，＋∞）

2]D．(1，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

x－1＞0所以log(x－1)120解得1＜x≤2．

答案：D2．函数y＝log

12（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）

B．（2，＋∞）D．（

32A．（－∞，1）C．（－∞，

32），＋∞）

解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．

答案：B

3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则

A．4

yx的值为（）B．1或D．

1414

C．1或4

yx错解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有

14＝或

xy＝1．

答案：选B

正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．答案：D

4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log的取值范围为（）

A．（0，C．（

12122a（x＋1）满足f（x）＞0，则a

B．（0，1）D．（0，＋∞）

，＋∞）

解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜

2a＜l，解得0＜a＜答案：A

12（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．

5．函数y＝lg（

21－x－1）的图象关于（）

1＋x1－xA．y轴对称C．原点对称

21－x

B．x轴对称D．直线y＝x对称

1＋x1－x解析：y＝lg（

－1）＝lg，所以为奇函数．形如y＝lg或y＝lg1＋x1－x的函数都为奇函数．答案：C二、填空题

已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝loga（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜答案：a∈（1，2）

7．函数f（x）的图象与g（x）＝（的单调递减区间为______．

解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝log则f（2x－x2）＝log132x（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．

13）的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）

13（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．

（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．答案：（0，1）

8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（则不等式f（log4x）＞0的解集是______．解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－

1212）＝0，

）＝f（

12）＝0．又f（x）在［0，＋∞］

12上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞

或log4x＜－

12．

12解得x＞2或0＜x＜

12答案：x＞2或0＜x＜三、解答题9．求函数y＝log13

（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函数的值域是R

．因为函数y＝log1（x2－5x＋4）是由y＝log313（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，

52函数y＝log13（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

上为减函数，在［

52，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝log13（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝log13（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也

为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝log313（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．10．设函数f（x）＝

23x＋5＋lg3－2x3＋2x，

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；

（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点吗?

若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．解：（1）由3x＋5≠0且＜

323－2x3＋2x＞0，解得x≠－

53且－

32＜x＜

32．取交集得－

32＜x

2（2）令（x）＝

3－2x3＋2x＝－1＋

3x＋56，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

3＋2x随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．

又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝lg（x）＝

23x＋53－2x3＋2x是减函数，所以f

＋lg3－2x3＋2x是减函数．

（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．

设函数f（x）的反函数f1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义

域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝

一．指数函数与对数函数

．同底的指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数；

（二）主要方法：

1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．（三）例题分析：

2例1．（1）若aba1，则logbxyz（2）若23525．所以函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点，交点为（

25，0）。

ba，logba，logab从小到大依次为；

z都是正数，，且x，则2x，y，3y，5z从小到大依次为；

xx（3）设x0，且ab1（a0，b0），则a与b的大小关系是（）

（A）ba1（B）ab1（C）1ba（D）1ab

2解：（1）由aba1得

baa，故logbbxyz（2）令235t，则t1，xalgtlogba1logab．

lg2，ylgtlg3，zlgtlg5，

∴(lg9lg8)lg2lg30，∴2x3y；

同理可得：2x5z0，∴2x5z，∴3y2x5z．（3）取x1，知选（B）．例2．已知函数f(x)ax(a1)，

x1求证：（1）函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）方程f(x)0没有负数根．

x2证明：（1）设1x1x2，则f(x1)f(x2)

(x1x2)(x11)(x21)，

∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20，∴

3(x1x2)(x11)(x21)0；

∵1x1x2，且a1，∴ax1ax2，∴aax1x20，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）假设x0是方程f(x)0的负数根，且x01，则a即ax0x0x02x010，

2x0x013(x01)x013x011，①3x013，∴

3x0112，而由a1知ax0当1x00时，0x011，∴∴①式不成立；

当x01时，x010，∴

3x011，

0，∴

3x0111，而ax00，

∴①式不成立．

综上所述，方程f(x)0没有负数根．

例3．已知函数f(x)loga(ax1)（a0且a1）．求证：（1）函数f(x)的图象在y轴的一侧；

（2）函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0．

证明：（1）由a10得：a1，

∴当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0,)，此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；

当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(,0)，此时函数f(x)的图象在y轴的左侧．

∴函数f(x)的图象在y轴的一侧；

（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1x2，则直线AB的斜率ky1y2x1x2x1x2xx，y1y2loga(a1)loga(ax1x1x21)logax2aa11，

当a1时，由（1）知0x1x2，∴1a∴0aax1x2ax2，∴0a1ax11，

111，∴y1y20，又x1x20，∴k0；

x1当0a1时，由（1）知x1x20，∴a∴

ax1x2ax21，∴ax11ax210，

1，∴y1y20，又x1x20，∴k0．1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0．

高一函数特点总结 第16篇

关键词：高中数学 数列 函数

在高中数学教学中，数列和函数是其中的两个主要部分。在很多的高考数学题中都常常把数列和函数两者相结合起来，作为一个考察的重点。很多的学生在这方面就感到很大的困难。在高考中也常常容易出现失分的情况，进而影响到整个数学科目的分数。为了能够适应数学教学的发展，很多老师也开始加强对数列和函数结合点的数学知识的教学，帮助学生全面提高数学能力。这也是符合了高考数学学科中关注学生对知识点的有机结合的一个改革要求的。在高中数学中数列和函数知识的结合主要是数列中的等差数列与函数知识相结合，等比数列和函数知识相结合以及等差、等比和函数的综合运用。教师在教学中不断地总结这类题目的解答规律，把握这类题目的本质。下面从一些具体的数学例题来把握数列和函数这两者间的联系。

一、等差数列的知识和函数的联系

这一类题目的解答的方法都是差不多的，教师在进行这一类题目的详细解答之后，要帮助学生进行必要的总结，让学生在面对这一类题目时，不再茫然无措，而是能够比较熟练地完成题目的要求。

二、等比数列和函数之间的综合运用问题

基本上，等比数列和函数之间的综合运用都是按照数列的解题思路来进行的。但是，具体上来说，他们都各自结合了等差数列和等比数列的基本特征。一般来说，教师会采用下面的方式来解答此类题目。基本上了解了这一点，整个等比数列和函数之间的数学问题的解决就是从这个关系出发的。

三、等比、等差数列和函数的综合关系

只要掌握了它们之间的关系，问题就很容易解决了。因为等差数列、等比数列都是可以看作是函数中的特殊函数。在很多的函数问题的解决中常常要求它们引入到数列的方程中。我们可以从函数的另外一个性质来看，数列其实是可以被看成是一个定义域为正整数的集合。这样就很容易构建起了数列和函数的关系。下面以一道等差、等比数列和函数综合的题目来分析这个知识点的结合。

四、结语

在高中数学的教学过程中，综合题目中的数列和函数有时候还会和其他的方程、向量等问题相结合。但是重要的是教会学生把握这些知识点的内容和他们结合点的知识的联系，这样就能够培养学生的数学联系思维能力，提升学生的数学思维能力。

参考文献：

[1]杜洪明.数列与函数综合的问题分类解析[J].数理化学习（高中版），2009，（7）：2.

高一函数特点总结 第17篇

关键词：数学；总复习

高中数学总复习如何突出一个“总”字呢？根据笔者多年的教学实践，我认为要注意以下四点：抓好基础；把握知识的内在联系，构建知识网络；增强运用数学思想方法的意识性；在过程中提高能力。

一、抓好基础是根本

按照《考试说明》的要求，在对知识内容进行全面复习的基础上，要注意突出重点。重点知识是数学科知识体系的主要内容，也是高考的重点。如数列、不等式、函数、三角函数的图像和性质及恒等变换，空间图形中元素的位置关系，直线和圆锥曲线的性质，解析几何的基本思想等，要重在对这些内容的理解、掌握和灵活应用，这是最重要的基础。

抓基础时，要重视课本，尤其要重视重要概念、公式、法则的形成过程和例题的典型作用，高考数学试题中有相当多的题目是课本上基本题目的直接引用或稍作变形而得来的。没有扎实的基础，搞综合提高是不会有好效果的。即使在去解综合题时，也脱离不开基础知识做基础，抓好基础是根本，要坚持不懈。

二、掌握知识的内在联系和知识系统，构建知识结构，形成知识网络

数学高考试题的设计，非常重视数学知识的综合和知识的内在联系，尤其重视在知识网络的交汇点设计试题。

高三数学总复习的过程，是对数学基础知识和基本方法不断深化的过程，要从本质上认识和理解数学知识之间的联系，从而加以分类、归纳、综合，形成一个知识的结构系统，这个结构系统反映在头脑中，表现为数学知识不是无序的堆积，而是一个条理化、排列有序、知识之间关系清晰分明的体系。在解题目时，就可根据题目提供的信息，提取相关的知识点，进行有机组合，探索解题的思路和方法，同时注意解题时的优化组合。

如在数学中，函数、方程和不等式之间的联系，它们之间在解决问题时相互转化，方程和不等式的问题有时可以通过函数的思想方法去解决，函数中的问题有时可以通过方程或不等式去解决，研究方程的解的问题，有时可以通过构造函数来解决。如解析几何中曲线与方程和代数中的函数与图像之间的联系，方程的曲线与函数的图像之间的相同点与不同点，何时可以互相转化等。

因此，只有搞清楚知识之间的内在联系，形成知识结构和网络，在解题时才能从不同角度去分析、解决，才能对知识融会贯通，运用自如。

三、增强运用数学思想方法的意识性

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。数学高考试题强调考能力，考能力往往和考查对数学思想方法的理解和运用相结合，考能力寄寓于数学思想方法之中。对数学思想方法，首先要领悟到蕴含在数学概念、定义、定理、公式、法则中的数学思想方法，它体现了数学知识的发生、发展过程。

如对函数奇偶性的判定，对一个函数f（x），它的奇偶性只有四种可能，是奇函数不是偶函数，是偶函数不是奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数。要理解各自的判定方法，并能构造各类函数，如函数f（x）=0（x∈R）或x∈[-a，a]（a>0），它既是奇函数又是偶函数，函数f（x）=a（a≠0的常数），x∈R或x∈[-a，a]（a>0）时是偶函数不是奇函数；而函数f（x）=0，f（x）=a，当x∈[0，+∞]或x∈[-3，+8]时，它既不是奇函数又不是偶函数。

另外，研究logax的性质要注意分a>1和0

对数学思想方法还要理解知识的发展和深化过程，以及在发现问题和解决问题中的应用。

如解关于x的不等式（m+3）x2+2mx+m-2>0（m∈R），能意识到运用分类讨论的思想方法进行求解。

首先分为m+3=0和m+3≠0两类，对m+3≠0又分为m+3>0和m+30时，又需考虑到Δ0三种情况；对m+30的情况分别加以求解。对数学思想方法的理解和运用，一定要和数学知识内容和问题相结合，领悟到它在解决数学问题时的作用和意义。

四、注重过程是提高能力的关键

过程主要指知识的形成过程、数学理论的形成过程和解决数学问题时的思维过程。

高一函数特点总结 第18篇

一、教学方面

1.认真研究课程标准。在课程改革中，教师是关键，教师对新课程的理解与参与是推进课程改革的前提。我认真学习数学课程标准，对课改有了进一步的了解。课程标准明确规定了教学的目的、教学重点、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。继承传统，更新教学观念。高中数学新课标指出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动”。

2.合理使用教科书，提高课堂效益。对教材内容，教学时需要作适当处理，适当补充或降低难度是备课必须处理的。灵活使用教材，才能在教学中少走弯路，提高教学质量。对教材中存在的一些问题，教师应认真理解课标，对课标要求的重点内容要作适量的补充；对教材中不符合学生实际的题目要作适当的调整。此外，还应把握教材的“度”，不要想一步到位，如函数性质的教学，要多次螺旋上升，逐步加深。

3.发挥学生的主体作用。我重视加强学法指导，努力改变学生的学习方式，真正从接受性学习转换为自主性学习。充分调动学生积极性、主动参与性，发挥学生在教学中的主体作用，使学生在激励、鼓舞和自主中学习，掌握知识与技能，培养创新能力和实践能力。每节新课前都要求学生自学，逐步培养学生的自学能力。

4.我在课堂教学中特别重视改进教学方法，注意问题的提出、探究和解决。组织、引导学生开展合作交流、展示等学习活动，以问题引导学生去发现、探究、归纳、总结，教会学生发现问题和提出问题的方法。使学生学的主动、学的有兴趣，培养问题意识及合作、交流、表达等能力。

5.落实分层教学、努力实现人人发展的目标。根据学生个性、认知能力、思维类型等差异，实行分层设计、分层教学、分层指导、分层训练。使每一个学生都在原有基础上获得充分的最大化的发展。 6.营造和谐师生关系。师生之间具有愉快的情感沟通与智慧交流，课堂里充满欢乐、微笑、轻松、和谐、合作和互动。教师与学生建立了一种民主、平等、尊重、温暖、理解的师生关系。教师的亲和力和教学艺术对学生产生积极影响，90%以上的学生喜欢学科教师并对这一门学科产生浓厚的学习兴趣，掌握了基本的学习方法并获得积极的情感体验，有成功喜悦感。

7.在课后作业，反馈练习中培养学生自学能力。课后作业和反馈练习、测试是检查学生学习效果的重要手段。抓好这一环节的教学，也有利于复习和巩固旧课，还锻炼了学生的自学能力。在学完一课、一单元后，让学生主动归纳总结，要求学生尽量自己独立完成，以便正确反馈教学效果。

8注重做好培优补基工作，促进后进生的转化。要提高教学质量，还要做好课后辅导工作，包括辅导学生课业和抓好学生的思想教育，尤其在后进生的转化上。本学期培优补基工作效果显著，特别是在对后进生转化工作上，注意针对不同的学生采取不同的方法，先全面了解学生的基本情况,争取准确的找出导致“差”的原因。并在情感上温暖他们，取得他们的信任。从赞美着手，所有的人都渴望得到别人的理解和尊重，在和差生交谈时，对他的处境、想法表示深刻的理解和尊重；还有在批评学生时，注意阳光语言的使用，使他们真正意识到自己所犯的错误或自身存在的缺点，通过自身的`努力尽快的赶超其他同学，因此两班的数学成绩提高幅度很大。

二、存在困惑

1.书本习题都较简单和基础，而我们的教辅题目偏难，加重了学生的学习负担，而且学生完成情况很不好。课时又不足，教学时间紧，没时间讲评这些练习题。

2.由于学生的基础参差不齐且整体数学素质不理想，在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，少有巩固练习的时间。一些学生听得似懂非懂，给差生学好数学造成了一定的困难。而且知识内容需要补充的：如乘法公式；因式分解的十字相乘法；一元二次方程及根与系数的关系；根式的运算；解不等式等知识没有专门的时间教学，只能是在新授过程中逐渐渗透。

3.虽然经常要求学生课后要去完成教辅上的精选的题目，但是，相当部分的同学还是没办法完成。学生的课业负担偏重（原因：9个学科同时并进），有的学生则是学习意识淡薄，导致有的学生难于适应。

三、今后要注意的几点

1.要处理好课时紧张与教学内容多的矛盾，加强对教材的研究；

2.注意对教辅材料题目的精选再精选，减经学生的负担。

3.要加强对数学后进生的思想教育，进一步增强他们学好数学的信心。

高一函数特点总结 第19篇

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作AB。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作AB。中学教材课本里将符号下加了一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。

高一函数特点总结 第20篇

【(一)、映射、函数、反函数】

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.

②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.

【(二)、函数的解析式与定义域】

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

①分式的分母不得为零;

②偶次方根的被开方数不小于零;

③对数函数的真数必须大于零;

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种情况

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.

(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

【(三)、函数的值域与最值】

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

【(四)、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;

(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

(6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数。

【(五)、函数的单调性】

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.

(4)注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数;

在[a、b]上是减函数.

②在[a、b]上是增函数.

在[a、b]上是减函数.

需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.

(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或x1>x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.

6、证明函数的单调性的方法

(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根据定义，得出结论.

(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.

如果f′(x)>0，则f(x)为增函数;如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.

【(六)、函数的图象】

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(b>0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f-1(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)(a>0)

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(-x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

①求证：f(0)=1;

②求证：y=f(x)是偶函数;

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由.

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法.

解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1.

②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.

③分别用(c>0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.

高一函数特点总结 第21篇

【中图分类号】 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004―0463（2015）23―0119―01

北师大版九年级数学下册的第三章“二次函数”，它不但是初中教学的重点内容，而且也是高中函数学习的一个重要知识点，它起着承上启下的作用.二次函数这一章体现了数形结合的重要思想，也为高中进一步学习“一元二次不等式”打下了基础.它是三个“二次”（二次方程、二次函数、二次不等式）中的重要一环，因此学好“二次函数”非常重要.那么如何学好二次函数呢？

一、学会观察与思考

二次函数的学习离不开二次函数的图象和性质，可以利用作图方法与作图过程，从“特殊”“一般”规律来认识二次函数，以提高对二次函数的理解与掌握.

例1 在同一平面直角坐标系中画出下列函数图象，并观察其有何变化规律？

①y=x2 ②y=x2+1 ③y=（x-2）2 ④y=（x-2）2+1

从抛物线的图象上，它们的形状大小一致，只是位置不一样，其变化规律为：

二、掌握基本规律与方法

求抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴与顶点有两种方法：

第一种 配方法y=ax2+bx+cy=a（x-h）2+k 对称轴为直线 x=h，顶点为（h，k）.

第二种 公式法y=ax2+bx+c=a（x+）2+，对称轴为直线 x=-，顶点为（，）.

例2 求二次函数y=-2（x+3）2+5的对称轴及顶点.

解：直接利用公式法可得函数的对称轴为直线 x=-3

当x=-3时， y=5，即顶点为（-3，5）.

三、善于总结与推广

学好数学，重点在练习.通过不断练习，才能巩固所学知识.但又不能搞题海战术，要通过精练，不断地总结解题方法和技巧，才能真正提高解题能力.

例3 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），求这条抛物线的对称轴.

分析：利用数形结合的思想来总结，即利用抛物线的对称性，抛物线上到对称轴等距离的两点的纵坐标相等.

解法一： 设a>0，利用图象可知 A、B两点的中点是（1，0），即所求抛物线的对称轴是直线x=1.

分析：由公式法可知对称轴为：x=-，求出a、b的值或a 、b关系即可.

解法二： 抛物线y=ax2+bx+c经过（-1，0） ，（3，0）

a-b+c=0 ①

9a+3b+c=0 ②

②-① 得：b=-2a.

所求抛物线的对称轴是：x=-=-=1.

由上述解题方法可总结出结论：若y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（x1，0）（x2，0），则所求抛物线的对称轴是： x=.

四、加强应用

数学知识来源于实践，最后回归到解决实际问题.利用二次函数解决实际问题难点在于函数关系的确定，对于一些较复杂的问题，可以采用表格分析来帮助理解.

例4 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销路，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

（1）某商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

解：（1）设每件降价x元，根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200.

整理得 x2-30x+200=0，

解方程得x1=10，x2=20.即当降价10元或20元时，由于销售量不同，都可获利1200元.但“为了扩大销售”，“尽快减少库存”可降价20元，每天销售量将增加，符合题中要求.

（2）设每件降价x元，其数量变化关系式为：

则函数关系式为： y=（40-x）（20+2x）

=-2x2+60x+800

=-2（x-15）2+1250，

高一函数特点总结 第22篇

一、掌握函数概念

对于数学概念来说，能够对数学思维起到一个很好的引导作用。建立正确的概念意识，才能让数学思维朝着良性思维发展。函数的内容跟其他知识点一样，也有比较多的改变，比如，函数的定义域、函数的域值、函数的单调性，等等。在这些函数概念中，一旦学生不理解基础问题，就会理解不了函数变量问题。初中阶段学习函数，一般都是学习常量问题，对于函数的概念理解停留在“变量的算式”方面。处在这个年龄阶段的学生，理解问题的时候不能很好运用发展的眼光。加上思维的惰性，理解知识会停留在表层阶段。所以，在高中阶段的函数学习中，教师要善于引导和把握此特点，让学生学会迁移知识，锻炼学生的思维能力。比如，在进行函数概念的教学设计的时候，可以先从圆的面积跟半径之间的变化规律着手，让学生求出：当圆的半径为X，面积为Y的时候的值，这样就使得学生对原有的知识结构的常量数学的认识过渡到变量数学的认识。在这个基础上，学生就会对函数的定义进行总结。这个过程是学生进行探索与发现的过程，也是对原有知识结构进行整合的过程。

二、用函数模型解决实际问题

函数的应用主要反应在解决简单的实际问题上。首先应正确地把实际问题转化为函数模型，这是解决应用题的关键所在。通过对已知条件进行综合分析，从而进行归纳和概括，对很熟知的函数模型进行比较，确定函数模型的种类。其次，可以运用相关的函数知识，对实际问题进行合理设计，从而确定一个最好的解决方法，再进行求解和计算。再次，将通过计算获取的结果应用到实际问题中，对实际问题进行解答。比如，在三角函数模型的简单应用中，函数模型的应用示例，物理情景是：简单和谐运动、星体的环绕运动；地理情景：气温变化规律、月圆与月缺；心理、生理现象：情绪的波动、智力变化状况，等等。在教学学习过程中，可以选择那些与学生的认知水平比较接近的数学问题，引导学生积极思考，从而专注于问题的实质，建立相应的数学模型，培养学生的函数应用意识。通过对问题的观察、归纳和总结，分析每一个量的变化，解决遇到的实际问题。

三、小组合作，提高函数学习成效

高一函数特点总结 第23篇

【（一）、映射、函数、反函数】

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。

（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。

（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数。

3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；

（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域。

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起。

②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算。

【（二）、函数的解析式与定义域】

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：

（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；

（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的'公共部分（即交集）。

（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。

已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。

2、求函数的解析式一般有四种情况

（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。

（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。

（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域。

（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（—x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式。

【（三）、函数的值域与最值】

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。

（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。

（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f—1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得。

（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法。

（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧。

（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其题型特征是解析式中含有根式或分式。

（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域。

（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域。

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异。

如函数的值域是（0，16]，值是16，无最小值。再如函数的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2。可见定义域对函数的值域或最值的影响。

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积（体积）（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。

【（四）、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）。

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定义域上的恒等式。（奇偶性是函数定义域上的整体性质）。

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

（1）不论f（x）是奇函数还是偶函数，f（|x|）总是偶函数；

（2）f（x）、g（x）分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函数，f（x）·g（x）是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。

（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数。

（3）若奇函数f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0成立。

（4）若f（x）是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

（5）若f（x）的定义域关于原点对称，则F（x）=f（x）+f（—x）是偶函数，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函数。

（6）奇偶性的推广

函数y=f（x）对定义域内的任一x都有f（a+x）=f（a—x），则y=f（x）的图象关于直线x=a对称，即y=f（a+x）为偶函数。函数y=f（x）对定义域内的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），则y=f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f（a+x）为奇函数。

【（五）、函数的单调性】

1、单调函数

对于函数f（x）定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f（x1）>（或<）f（x2）成立，称f（x）在[a，b]上单调递增（或递减）；增函数或减函数统称为单调函数。

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念。一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替。

（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内。

（4）注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数；

在[a、b]上是减函数。

②在[a、b]上是增函数。

在[a、b]上是减函数。

需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））连线的斜率都大于（或小于）零。

（5）由于定义都是充要性命题，因此由f（x）是增（减）函数，且（或x1>x2），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。

5、复合函数y=f[g（x）]的单调性

若u=g（x）在区间[a，b]上的单调性，与y=f（u）在[g（a），g（b）]（或g（b），g（a））上的单调性相同，则复合函数y=f[g（x）]在[a，b]上单调递增；否则，单调递减。简称“同增、异减”。

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程。

6、证明函数的单调性的方法

（1）依定义进行证明。其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1（或<）f（x2）；③根据定义，得出结论。

（2）设函数y=f（x）在某区间内可导。

如果f′（x）>0，则f（x）为增函数；如果f′（x）<0，则f（x）为减函数。

【（六）、函数的图象】

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识。

求作图象的函数表达式

与f（x）的关系

由f（x）的图象需经过的变换

y=f（x）±b（b>0）

沿y轴向平移b个单位

y=f（x±a）（a>0）

沿x轴向平移a个单位

y=—f（x）

作关于x轴的对称图形

y=f（|x|）

右不动、左右关于y轴对称

y=|f（x）|

上不动、下沿x轴翻折

y=f—1（x）

作关于直线y=x的对称图形

y=f（ax）（a>0）

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af（x）

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f（—x）

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x—y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0。

①求证：f（0）=1；

②求证：y=f（x）是偶函数；

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f（x+c）=—f（x）成立；试问函数f（x）是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由。

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法。

解答：①令x=y=0，则有2f（0）=2f2（0），因为f（0）≠0，所以f（0）=1。

②令x=0，则有f（x）+f（—y）=2f（0）·f（y）=2f（y），所以f（—y）=f（y），这说明f（x）为偶函数。

③分别用（c>0）替换x、y，有f（x+c）+f（x）=

所以，所以f（x+c）=—f（x）。

两边应用中的结论，得f（x+2c）=—f（x+c）=—[—f（x）]=f（x），

所以f（x）是周期函数，2c就是它的一个周期。

高一函数特点总结 第24篇

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：

(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域

思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。

例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）

1，则函数ff(x)的定义域为______________。x11解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1

x1例2.若函数f(x)即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1

f(x)1x1即1，解得x1且x2

1x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域

思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。

例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5

即函数f(x)的定义域为1，5

x2例4.已知f(x4)lg2，则函数f(x)的定义域为______________。

x82x2x20解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以

2x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)

（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域

思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。

例5.若函数f(2x)的定义域为1，1，则f(log2x)的定义域为____________。

解析：f(2)的定义域为1，1，即x1，1，由此得2，2

2xx11f的作用范围为，2

21又f对log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定义域为

2，4

2，4

评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.

证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使ax1x2b

因为ug(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),

u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即

f(g(x1))f(g(x2))，

故函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.（2）.复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增减减增减减减增以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：确定函数的定义域；

将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。分别确定分解成的两个函数的单调性；

若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。

（4）例题演练

例1、求函数ylog1(x2x3)的单调区间，并用单调定义给予证明22解：定义域x2x30x3或x1

单调减区间是(3,)设x1,x2(3,)且x1x2则

y1log1(x12x13)y2log1(x22x23)

2222(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底数0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是减函数2222112同理可证：y在(,1)上是增函数

高一函数特点总结 第25篇

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数在高考试卷中占据了至少20分，并且三角函数一般都比较简单，是考试中最容易取得分数的知识点。因此，三角函数的解题在高考总复习中应当得到教师的充分重视。针对这种情况，笔者就高考复习阶段如何复习三角函数做出一定的解析，希望给学生以及同仁们提供借鉴。

一、掌握数学三角函数公式是学好三角函数知识的基础

要学好三角函数必须要将函数的公式烂熟于心，能够做到信手拈来。众所周知，高中数学教学中，三角函数的公式最多，限制条件也多。但是，不可否认的是，三角函数的题目也相对较为简单。因此，就应当引导同学们积极记住相关的公式，当然公式仅仅记住是不管用的，记住了却把它束之高阁是不能解决问题的，因此就要将所学的公式付诸应用。在记忆公式方面没有什么固定的窍门，但是教师可以引导学生通过象限来记忆公式，将公式的推导过程向同学们解释清楚，这样使学生做到“知其然，知其所以然”，这样必然利于同学们掌握公式，学以致用。

二、利用图形解题是解决三角函数题型的关键

在三角函数的解题过程中，题和图是不分家的，二者相辅相成、相得益彰。题目若是解决不了，画个图形往往能收到意想不到的效果。在实际的教学工作中，我们不难发现，作图往往是解决三角函数问题的一个重要突破口。当然，我们知道，三角函数也往往以图形的形式进行设题，考察同学们题图结合的综合能力。事实证明，只有将题和图掌握得都很好的同学，才能又好又快地解决这类问题。

三、解决三角函数问题，举一反三是学习的重要着力点

我们知道，在三角函数的教学过程中，出题人出题的突破点往往就是几个而已，不会有太大的突破，变化大多是数据或者顺序。针对三角函数出题万变不离其宗的特点，教师就应当引导学生们总结出三角函数出题的特点，这样不管题目如何变化，学生总能从这种变化中找出教师帮助同学们总结出的模板，这样学生们就可以轻易地取得分数。例如下题：

已知，且。

求：的最大值，并求出相应的α、β的值。

根据题意，我们就可以求解了。

＝ -

＝--

＝--

，，；

当时，y取最大值，

这样以后同学们再遇到这样的问题，就会很容易地解出来。

四、准备错题本，随时纠错

高一函数特点总结 第26篇

一、明确教学思想

1.首先教师必须更新观念，提高对数学思想方法教学的认识与重视.

在教学过程中，要重视数学思想方法的训练.从备课入手，通过对概念、公式、定理等的研究与探讨，挖掘有关数学思想方法.在教学小结时，要注意数学思想方法的归纳.使学生通过训练总结，从数学思想方法的高度把握知识的本质.

2.把握数学思想方法教学要求的层次.

从“义务教育大纲”可以看出，在初中阶段对数学思想方法的教学是有其具体分寸的.高中阶段相应地提高了要求的层次，如对分类讨论的思想、等价转化的思想、数形结合的思想、函数方程的思想等，不但要求理解，还要求在理解的基础上掌握及运用或灵活运用.任意提高或降低其要求层次，都会影响教学效果.

3.培养学生的方法意识.

新要求下，学生应明确只掌握几个公式、定理并不能将数学学好，要有敏锐的观察能力、分析能力及数据处理能力，支撑着这些能力的那就是数学的思想方法，所以学生在学习的过程中要有方法意识，主动整理与积累.

二、明确数学思想方法教学的原则

（1）渗透性原则：数学思想方法是融合在数学知识、方法之中的，所以采用渗透方式要不失时机地抓住机会，密切结合教材，不断地、一点一滴地再现有关数学思想方法，逐步地加深学生对数学思想方法的认识.

（2）渐进性原则：数学思想方法的渗透必须结合两个实际，即教材实际和学生实际，不同的教材内容有不同的要求，不同的学生也有不同的要求，要讲究层次，不能超越，要反复多次，循序渐进.

（3）发展性原则：用渗透方式进行数学思想方法教学，开始时起点要低，但最初的“低”是为了日后的“高”.通过一个阶段的学习，应该在原有的基础上有所提高，要求学生“学会”并“会学”，在思维素质方面有所发展.

（4）学生参与原则：学生只有通过积极参与，主动运用，才能领会数学思想方法的奥妙，进而激发学习兴趣，不断探索数学思想方法的真谛.

三、熟悉常用的数学思想方法

（1）函数思想：就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决.中学数学中，方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解，几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解决.

例如：设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）

解析以函数为中心，考查通性通法，设F（x）=f（x）g（x），由f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），即F（x）为奇函数.又当x0，所以x0时，F（x）也为增函数. 因为F（-3）=f（-3）g（-3）=0=-F（3）.

图1如图1，是一个符合题意的图象，观察知不等式F（x）

点评善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F（x）=f（x）g（x），再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.

（2）数形结合的思想：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的.“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等.数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形.

例如：求方程5sinx=x根的个数问题可通过作出y=5sinx与y=x的图象来研究，一目了然.

图2（3）分类思想：就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法.分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化.

例如：关于ax2+bx+c>0的解的问题，首先分a>0、a=0、a0时要分Δ>0、Δ=0、Δ

（4）转化思想：体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程.有学者指出：“数学中许多计算方法之灵巧，证明方法之美妙，究其思路，往往就是利用了各种转化.”利用转化思想，常常可以另辟蹊径，解决新问题，获得新知识.

高一函数特点总结 第27篇

【立体几何初步】

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

高一函数特点总结 第28篇

两个平面的位置关系

(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

(2)两个平面的位置关系：

两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。b、相交

二面角

(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

(3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)。

高一函数特点总结 第29篇

一、提高二次函数认识

相对于初中数学其他知识而言，二次函数研究的是自变量与因变量之间的关系，比较抽象，学生理解难度大．研究发现，部分学生不注重二次函数基础概念的学习与理解，因此，解答二次函数相关题目时常常出现一些不该出现的问题．因此，初中数学教学实践中，教师应提高课堂教学效率，加深学生对二次函数基础知识的认识与理解，防止在解答二次函数题目时因考虑不全而得出错误结论．因此，二次函数教学实践中，教师应提高学生对二次函数的认识，提醒学生二次函数满足的条件是a≠0．但初中数学题型复杂多变，仅仅记住a≠0并不一定正确的解答出题目，正如文中的例子．这就要求学生在加深二次函数基础知识深刻理解的同时，应注重分析问题的全面性，不应因学习了二次函数，导致思维定势而得出错误结论．

二、注重经典题型讲解

初中阶段有关二次函数的经典题型很多，考查学生掌握二次函数知识较为全面，因此，教师应注重讲解一些经典题型，提高学生对二次函数的理解能力，使学生掌握二次函数精髓．另外，在讲解一些经典题型时应注重多角度地对经典题型进行分析，使学生理解经典题型经典在何处，即，题目考查了哪些知识，在此题目基础上还能进行怎么变换等，使学生触类旁通，做到讲解一道题，学生会一类题，如此才能达到事半功倍的教学效果．

1．二次函数图象平移

二次函数图象平移题目在初中各阶段测试中出现频率较高，部分学生因未掌握相关的解题技巧，导致无法正确解答出相关题目．另外，为方便解答该类型的题目，部分教师总结了二次函数平移的一些规律，如“上加下减，左加右减”，但在解答题目过程中，部分学生未充分理解导致解题出错．

2．二次函数图象与一次函数图象的交点

初中数学二次函数教学实践中，另一经典题型则是二次函数图象与一次函数图象交点问题．由于该类题型具有一定综合性，难度较大，学生得分率较低，因此，教师应将其当做教学的重点加以讲解，使学生彻底掌握该类题型的解法．

三、鼓励二次函数应用

二次函数与生活密切相关，因此，为提高学生利用二次函数解决实际问题的能力，教学实践中教师应注重二次函数知识应用的讲解，使学生学有所用，体会到学次函数的成就感，树立学次函数的积极性与自信心．研究发现，部分学生在利用二次函数解决实际问题时，因无法建立实际问题与二次函数之间的关系，而无法解答出相关题目．为此，教学实践中，教师应多进行引导．

四、强调反思与总结

高一函数特点总结 第30篇

反比例函数

形如y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K0时α∈（0°，90°）

k0，则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

（6）显然幂函数无界。

高一函数特点总结 第31篇

关键词：注重实例，强化数形，突出技巧

函数单调性是函数的一条重要性质，里面的知识点虽不多，但它的重要性及实际应用却很广，对今后的学习至关重要，如何有效地教学，是学好函数单调性这一性质的关键。

一、恰到好处的实例引入是学好单调性的前提

一堂好的数学课，找准问题的切入点是解决问题的关键，可避免走弯路，接近学生的发展区，实效性强，使难点问题迎刃而解，当然这种切入点的引入，要找学生熟悉的知识点，最好是温故知新的那种。例如，单调性的分析，最好的切入点是引入顶点在原点的抛物线来研究，这个知识点大家熟悉，简单易分析，效果强。图形如下(A)

从图(A)我们看到轴右侧自变量的变化区间在的范围内，随着自变量的增大，函数值也增大，像这样的函数我们把它叫增函数，再看轴的左侧，自变量的变化区间在的范围内,随着自变量的增大,函数值却减小,这样的函数我们把它叫做减函数，函数在某个区间上是增函数，我们称为递增性，在某个区间上是减函数，我们称它为递减性，这种函数在某个区间上递增或递减的性质称为函数的单调性。这样单调性的特点、定义一下子就明确了，而且学生容易理解不走弯路。

二、数形的结合使单调性的学习变得鲜活生动

数学的学习离不开图，有人说，数学是数形的结合，看起来形（即图形）在数学课的教学中至关重要，图形不仅增强人的空间想象力，还可引发发散思维，可提高学习兴趣，形象生动，降低难度，实现一步到位的理论上的跨越，使高深的理论变得简单、清晰、鲜活，学生记忆深刻。例如，单调性的图像特点，我们从引入的实例的抛物线图中看到（见图A）， 轴的右侧在区间上是增函数，特点是沿着轴正方向图像上升， 轴左侧在区间上是减函数，特点是沿着轴正方向图像下降，这样我们可总结规律，凡是在某个区间上图像沿着轴正方向上升的，即为增函数(见图B)，在某个区间上图像沿着轴正方向下降的即为减函数（见图C），由图像的特点找到自变量变化的区间，即单调区间，显得轻而易举，根据这个图像特点再去分析复杂的图像，学生很容易找到增函数、减函数、单调区间，这样增函数、减函数、单调区间的确定变得简单化了。

三、重点实际的总结归纳使单调性学习富有规律

通过图像找单调性，确定函数单调区间固然好，但有时不直接给图像时，学生看到函数不会画草图，这样确定单调性对有的同学来说还有一定的难度。数学是有一定规律可循的学科，就单调性的学习而言，让学生知道在中专学习中常遇到的几种函数如一次、二次、反比例函数单调性的判定技巧，使单调性的学习变得简单而富有规律。

例如，

1、一次函数单调性的判定，它的单调性取决于，当>0时一次函数的图像在上是增函数，当<0时，一次函数的图像在上是减函数。

2、特殊的二次函数的单调性取决于，在上，当>0时，这个特殊的二次函数是增函数，<0时是减函数。在上正好相反。

3、反比例函数在上，它的单调性取决于，

当>0时为减函数，<0时为增函数。

这样在中职学生层面，给一个函数判定单调性的问题学生不再感觉有难度了，函数的这一条重要性质变得浅显易懂，化解了书中的难点，增强了学生学习的自信。

总之，这种恰到好处的实例引入，抓住了问题的关键，图形的有机结合，使单调性的学习变得鲜活生动，带有技巧性的分析，使单独性的学习变得简单而富有规律。

高一函数特点总结 第32篇

一、函数的概念与表示

1、映射

(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素

①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的`条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

(1)分式的分母不为零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

(3)对数函数的真数必须大于零;

(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四.函数的奇偶性

1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3.奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。