对角行列式总结 第1篇

1.主对角行列式

D=\begin{vmatrix} a_{11} & &\\ & \ddots & \\ & &a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & &\\ * & \ddots & \\ * &* &a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & * &*\\ & \ddots &* \\ & &a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}...a_{nn}

2.副对角行列式

D=\begin{vmatrix} & &a_{1n} \\ & ... & \\ a_{n1} & & \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} * & * &a_{1n} \\ * & ... & \\ a_{n1} & & \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} & &a_{1n} \\ & ... & *\\ a_{n1} &* &* \end{vmatrix}=-a_{n1}...a_{1n} .

对角行列式总结 第2篇

1.形式：

2.思路：先展开第一行，再展开第一列，寻找递推公式。

3.例题： D_n= \begin{vmatrix} 2a & 1 & & & \\ a^2& 2a &1 & & \\ & a^2 &2a &\ddots & \\ & & \ddots &\ddots &1 \\ & & & a^2 &2a \end{vmatrix}

展开第一行： 2a\times (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 2a & 1& & \\ a^2& 2a & \ddots & \\ & \ddots & \ddots &1 \\ & & a^2&2a \end{vmatrix}+1\times (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a^2 &1 & & \\ & 2a & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1\\ & & a^2&2a \end{vmatrix}

再展开后面一项的一列： 2a\times (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 2a & 1& & \\ a^2& 2a & \ddots & \\ & \ddots & \ddots &1 \\ & & a^2&2a \end{vmatrix}+1\times (-1)^{1+2}\times a^2\times (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 2a& 1 &\ddots \\ a^2& \ddots &1 \\ \ddots & a^2 &2a \end{vmatrix}

即： D_n=2aD_{n-1}-a^2D_{n-2}

由数列知识，我以前总结过的特征根法：

其中： D_1=2,D_2=3a^2.

则容易知道： D_n=(n+1)a^n.

对角行列式总结 第3篇

对角行列式总结 第4篇

1.原理：利用 \left | A \right | =\begin{vmatrix} 1& *\\ 0 &A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ * &A \end{vmatrix} ,其中 * 可以随意构造从而化简。

2.例题： \begin{vmatrix} 1+a_1& 1 &... &1 \\ 2 & 2+a_2& ... &2 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ n & n & ... &n \end{vmatrix}

发现每一列都有 1,2，...,n ，想消除它们，于是加边： \begin{vmatrix} 1& 0& 0& ... &0 \\ 1& 1+a_1& 1 & ... & 1\\ 2& 2& 2+a_2& ... & 2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ n& n & n &... &n+a_n \end{vmatrix}

第一列与之后的每一列都相减得到 \begin{vmatrix} 1& -1 & -1 & ... &-1 \\ 1& a_1& 0 & ... & 0\\ 2& 0 & a_2 & ... & 0\\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ n& 0&0 & ... &a_n \end{vmatrix}

成为了箭形行列式，把第 i 行的 \frac{1}{a_i} 加到第一行： \begin{vmatrix} 1+\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a_i} & 0 & 0 & ... &0 \\ 1& a_1& 0 & ... & 0\\ 2& 0 & a_2 & ... & 0\\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ n& 0&0 & ... &a_n \end{vmatrix}

展开得到： (1+\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a_i} )(a_1a_2...a_n) =(1+\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a_i} )\prod_{i=1}^{n} a_i .

对角行列式总结 第5篇

1.公式： \begin{vmatrix} A&0 \\ 0&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &C \\ 0 &B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A&0 \\ D &B \end{vmatrix}=\left | A \right | \left | B \right |

\begin{vmatrix} 0 & A_{n\times n}\\ B_{m\times m} &0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&A \\ B &C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} D & A\\ B &0 \end{vmatrix}=(-1)^{mn}\left | A \right | \left | B \right | .

2.技巧：逐行逐列交换，凑成公式的样子。

3、例题： \begin{vmatrix} 0 & a &b &o \\ a & 0& 0 & b\\ 0 & c& d& 0\\ c & o& 0&d \end{vmatrix}

二三行交换： (-1)\begin{vmatrix} 0 &a &b &0 \\ 0 & c & d & 0\\ a & 0& 0& b\\ c & 0& 0&d \end{vmatrix}

第二列与第一列交换，再第三列与第二列交换： (-1)(-1)^2\begin{vmatrix} a & b &0 &0 \\ c& d & 0 &0 \\ 0& 0 & a &b \\ 0 & 0 & c &d \end{vmatrix}

再利用拉普拉斯定理： -\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix}\begin{vmatrix} a&b \\ c &d \end{vmatrix}

最后得到： -(ad-bc)^2.

对角行列式总结 第6篇

1.形式：

2.思路：直接展开“直角边”所在一排，通过递推式和三角型行列式解决。

3.例题：（以下出现0的，用空白代替）

D_n=\begin{vmatrix} 2 & & & & 2\\ -1& 2 & & &2 \\ & -1& \ddots & &\vdots \\ & & \ddots & 2 & 2\\ & & & -1&2 \end{vmatrix}

展开第一行： D_n=(-1)^{1+1}\times 2 \begin{vmatrix} 2& & &2 \\ -1& \ddots & &\vdots \\ & \ddots & 2 & 2\\ & & -1&2 \end{vmatrix}+2\times (-1)^{n+1}\begin{vmatrix} -1 & 2 & & \\ & -1 & \ddots & \\ & & \ddots & 2\\ & & &-1 \end{vmatrix}

即： D_n=2D_{n-1}+2\times (-1)^{n+1}\times (-1)^{n-1}

\Longrightarrow D_n=2D_{n-1}+2

利用数列的知识（详见我之前的文章）有： D_n+2=2(D_{n-1}+2)

易知 D_n=2^{n+1}-2(n\ge 2)

验证 n=1 时， D_n=2=\left| 2 \right| 成立。