巴赫被乐评家和乐迷赞为“音乐家中的数学家”关于春天的网络图，他的作品穷尽了对位法的各种组合，充斥着规则和秩序。

音乐城莱比锡

1723年春天，在魏玛和克腾这两座小城生活了20年以后，巴赫携一大家子来到莱比锡。莱比锡在德语里的原意是“有菩提树的地方”，它离魏玛和克腾不过几十公里。事实上，巴赫一生的活动范围很小，犹如那位在菩提树下悟道的佛祖释迦牟尼。巴赫的足迹只在德国中东部的一部分地区，可能比哲学家康德略广一些，与数学王子高斯相差无几。高斯去过一次柏林，而巴赫去过一次吕贝克，他们都没有离开过德国。这三位德国人分别是音乐家、数学家和哲学家的杰出代表，都擅长抽象思维。

5月13日，巴赫宣誓就职，担任莱比锡城教堂乐队的乐正，他的职责是，为四所教堂提供音乐演奏和吟唱。其中，彼得斯教堂的唱诗班只领唱赞美诗，而新教堂、尼古拉教堂和圣托马斯教堂要求有多声部合唱。不过，巴赫只是在后面两座教堂担任指挥，他自己的宗教音乐也只在那里演出。巴赫第一出上演的曲目是康塔塔《穷人嗷嗷待哺》，康塔塔的本意是清唱套曲，包含独唱、合唱、重唱等，通常有一个以上的乐章，大多有管弦乐队伴奏。康塔塔最初发源于意大利，巴赫的创作使其达到高峰，他一生共写了一百多首康塔塔，既有世俗的也有宗教的。

翌年圣诞节，巴赫演奏了《圣哉经》，这是他的代表作《b小调弥撒曲》中的第四段，而前两段《垂怜经》和《光荣颂》在十年后才写成。这部宏大的曲子何时完成已无法考证，它的出版是在1845年（巴赫身后95年），首演是在1934年（巴赫身后184年）。换句话说，巴赫本人从未听过，这部作品宗教气息十分浓厚，但是太复杂太大型了，已超出教堂承受的上限，故而人们往往把它搬到音乐会上演出。而随着岁月的推迟，它的价值越来越高。值得一提的是，虽说当时德国已实行基督新教，巴赫也是新教路德宗教徒，但那时德国的教堂尚未取消天主教的弥撒崇拜仪式。

在莱比锡，巴赫曾创作过五部受难曲，有两部流传下来，其中最有名的是《马太受难曲》，它是巴赫根据《圣经·新约》里的《马太福音》创作的。讲的是耶稣被出卖、受刑、死去和复活的故事，规模宏大，使用了三个合唱队、两个各由17件乐器组成的管弦乐队、两座管风琴，外加独唱和独奏乐器。《马太受难曲》虽有一定的情节性，但是音乐所要表现的不是戏剧化的情节，而是史诗性的崇高精神。作为圣托马斯教堂的乐正，巴赫为《马太受难曲》的演出可谓费尽心机，他利用自己是莱比锡大学音乐主管的身份，动员了该校的学生合唱团，他自己家族里的音乐人才也全部参加演出。

巴赫在音乐里掺进了很多的世俗化感情，这种大胆的尝试并不为保守的市政当局所欣赏，然而这正是巴赫音乐的价值所在。《马太受难曲》是巴赫教堂音乐的顶峰，这部作品之所以伟大，就是因为它表现的是热情、正义、崇高，歌颂的是人类的感情。可是，在巴赫去世之后，它就被人们遗忘了。直到一个世纪后，才被20岁的门德尔松重新发现，他把它搬上舞台并亲自指挥。演出结束后，巴赫复活了，德国成立了巴赫学会。如今，人们已发现一千多部巴赫作品，犹如比他稍后的瑞士数学家欧拉一样高产。巧的是，两人都在晚年双目失明。巴赫的名言是，“谁像我一样的努力，谁就有我一样的成就。”

音乐家中的数学家

巴赫被乐评家和乐迷赞为“音乐家中的数学家”，原因应该是多种多样的。古希腊数学家毕达哥拉斯对音乐理论的贡献是发现了和谐音程的数学关系，对位法正是把这种和谐关系运用于实践，而巴赫对博大精深的对位法贡献巨大。他的作品穷尽了对位法的各种组合，利用耐心细致的想象力，写出了优美而情感丰富的复调。巴赫的音乐充斥着规则和秩序，规则并非教条，秩序来自热忱。

巴赫的《平均律钢琴曲集》是音乐史上的杰作，其中上卷是在克腾完成的，下卷是在莱比锡完成的。声部间的回转、穿插、分离和并流，每个细节都十分妥帖，犹如巴洛克建筑中几何曲线的弧度或廊柱上的涡旋数目，似乎也印证了毕达哥拉斯的“万物皆数”。可以这么说，巴赫的作品是如此精确，一个音符也无法改动。19世纪大大促进美国数学发展的英国数学家西尔维斯特说过关于春天的网络图：“难道不可以把音乐描述为感觉的数学，而把数学描述为理智的音乐吗关于春天的网络图？”

值得一提的是，莱比锡也是17世纪德国大数学家莱布尼茨出生、长大的地方，他在莱比锡大学接受了全部的高等教育。虽说他念的是法学，却在上学期间因为要学习欧几里得的《几何原本》，对数学发生了浓厚的兴趣。20岁那年，莱布尼茨递交过一篇论文《组合的艺术》，帮助他获得在莱比锡大学讲授哲学的资格，同时成为近代逻辑学的先驱和创始人，并开启了一个新的数学分支——组合分析。后来他作为政客的幕僚，在巴黎肩负外交使命时又完成了微积分学的发明。

在巴赫之后，莱比锡这座音乐名城，还出现过门德尔松、舒曼和克拉拉夫妇等音乐家。诗人歌德很喜欢莱比锡，称它为“小巴黎”。这里街道整洁，商业繁华，是世界闻名的博览会城、书城和音乐城。每年春、秋两季，都有国际博览会在此举行。1481年，第一本活字印刷的德文书籍在莱比锡问世，之后它一直是德国出版业中心，莱比锡书展名闻遐迩。高斯的《算术研究》在此初印，巴赫未完成的《赋格的艺术》也在这里出版，莱比锡还有一座印刷博物馆。

1843年，门德尔松创建了德国第一所音乐学院——莱比锡音乐学院，并亲自担任院长，应邀前来执教的有作曲家舒曼，他本人出生在莱比锡附近的一座小镇，他的钢琴家夫人克拉拉也是莱比锡人。莱比锡还有著名的格万特豪斯交响乐团，已有两百多年的历史。如今，去莱比锡的游人必然要造访圣托马斯教堂，巴赫一家安葬在教堂的后半部分，那里有一条线把木制地板空间分成前后两部分。而在教堂的入口和后面，分别耸立着巴赫和门德尔松的塑像。

普鲁士王国

在所有数学家中，欧拉最有可能见到过巴赫，欧拉比巴赫年轻22岁，出生在瑞士的巴塞尔，起初他在巴塞尔大学学习神学和希伯来语，预备将来继承父亲的牧师职位，但后来受到来自数学世家的数学教授贝努利的鼓励，把兴趣转向了数学。欧拉是18世纪最伟大的数学家，也被认为是历史上最伟大的四位数学家之一。其时，欧拉接受普鲁士国王邀请，从圣彼得堡来普鲁士科学院工作已满18年了。

欧拉是18世纪最伟大的数学家，也被认为是历史上最伟大的四位数学家之一。

这事得从普鲁士王国的第三位国王腓特烈二世，即著名的腓特烈大帝（1712-1786）说起，他是欧洲开明专制的代表人物，在位期间提升了普鲁士的国力，使其成为欧洲大国，享有“德意志之父”的美誉。腓特烈二世不仅是卓有成就的政治家和军事天才，还是多才多艺的作家和作曲家。特别的是，他吹得一口好长笛，并擅长作曲。除了母语德语以外，他还会说法语、英语、意大利语、西班牙语和葡萄牙语，能听懂拉丁语、希腊语和希伯来语，晚年还学习了斯拉夫语、巴斯克语和汉语。

在艺术领域，这位国王的兴趣也很广泛，在柏林西南20公里处的波茨坦亲自设计了无忧宫草图，并请来名建筑师。无忧宫正殿中央为半圆球形顶，两翼为长条形建筑。大殿四壁镶金，多用壁画和明镜装饰。宫殿东侧还有画廊，珍藏了文艺复兴时期意大利和荷兰画家的名作。殿前是弓形台阶，两侧和周围由翠绿丛林烘托。花园内有一座六角凉亭，采用中国传统的碧绿筒瓦、伞状盖顶，被称为“中国茶亭”。亭内桌椅完全仿东方式样制造，亭前耸立着香鼎。

腓特烈二世登基当年，即1740年，他便邀请数学家欧拉来普鲁士，其时欧拉已从故乡巴塞尔到圣彼得堡生活了13年，他随后在普鲁士科学院工作了25年。1750年，法国作家伏尔泰也来到普鲁士，他在柏林和波茨坦逗留了近三年，起初颇为陶醉。后来，伏尔泰遭遇了许多不愉快，甚至与欧拉也有过口角。伏尔泰不辞而别后，一度被软禁在法兰克福的一家旅店。

巴赫从萨克森公国的莱比锡来普鲁士比伏尔泰要早三年，其时他的三儿子埃马努埃尔担任普鲁士宫廷合唱队的指挥，腓特烈二世通过小巴赫发出邀请。1747年5月7日，当62岁的老巴赫终于到来时，35岁的国王正准备开始他的长笛演奏会。他闻讯大喜，当即放下长笛，传令召见来不及更衣的巴赫。当晚国王终止了演奏会，领着巴赫参观他收藏的各种名贵古钢琴。稍后，腓特烈二世在一架钢琴旁边坐下，即兴弹奏了一段自己谱写的旋律，希望巴赫能将其改编成一首三声部赋格曲。

虽然这段旋律不规则，但巴赫及时完成了任务，充分展示了即兴作曲和演奏的高超技能。同时，巴赫对于国王的音乐天才也表示赞赏，国王希望他能用同样的主题谱写一首六声部赋格曲，巴赫回答说那需要时间。果然，返回莱比锡不到两个月，巴赫完成了一部作曲集，连同一封虔诚的信函寄给了腓特烈大帝。此即《音乐的奉献》，其中包含了一首以长笛为特色的奏鸣曲（可以让国王展示他的技艺）和十首卡农。那会儿，离他的生命终点只有三个年头了。

卡农和十二平均律

卡农（Canon）是一种复调音乐,本意为“规律”。一个声部的曲调追逐着另一声部，直至最后一个音节，相互融合，给人以神圣的感觉和意境。声乐中的轮唱也是一种卡农。卡农最初出现并流行于英国，可能是民间的狩猎曲。后来，卡农也被巴赫和贝多芬等作曲家采用。《音乐的奉献》中的第一首卡农又称“螃蟹卡农”，其特点是第一声部尾末九小节恰好是第二声部开头九小节的逆行（retrograde）。

这类逆行好比几何图像中的对称，据说很适合于在莫比乌斯带上实现。所谓莫比乌斯带就是把一根纸条扭转180度以后，两头再黏接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。例如，一只甲壳虫可以爬遍整个曲面而不必跨越边界！几何学或五线谱中的对称并不难识别，但在音乐中做到这一点不容易，不仅要能倒过来演奏，同时还要和谐好听，只有巴赫那样的音乐大师才能做到。即便如此，听众也难以察觉，因为听觉对于逆行等技巧并不敏感，这也是现代主义音乐不易普及的原因。

除了逆行，音乐中还有移调、倒影，相当于几何学中的平移和中心对称（零点对称）。由于音乐是时间的艺术，一段旋律稍纵即逝，需要将其反复呈现，才能给听众留下深刻印象。可是，一成不变的旋律又容易让人厌倦，于是需要在重复中有所变化。也许因为巴赫的音乐长于重复和变化，尤其是复调，他才被称为“音乐家中的数学家”。而欧拉不仅是一位伟大的数学家、物理学家和天文学家，也是一位杰出的科普作家和音乐理论家，两者他都有著作传世。我们可以推想，假如欧拉在柏林或波茨坦见到巴赫的话，两人应该会有一番愉快而深入的交谈。

1726年，19岁的欧拉在巴塞尔大学念书时，便在笔记本上列出一项题为“音乐理论体系”的写作计划，涉及单声部和多声部的作曲，旋律与和声的创作，以及舞曲曲式，等等。四年以后，欧拉在圣彼得堡科学院工作时，终于完成了这本著作，但出版却要等到九年以后，即他应聘去普鲁士科学院的前一年。在这本书中，欧拉首次指出了乐音体系中各个音阶之间存在着如他所描绘的网络关系。

1736年，欧拉发表了有关“哥尼斯堡七桥问题”的论文，这篇论文被公认为是数学分支图论研究的开山之作，同时也预示着拓扑学的诞生。在这篇划时代的论文中，也有类似的由点和线组成的网络图。有的学者因此认为，欧拉对音乐的研究在一定程度上帮助他开创了数学研究的新领域。欧拉定义的网络关系即音网（德文tonnetz，英文tone network），如今仍应用于和声学的研究。

最后，我们来说说音名、八度和十二平均律。音名，可用CDEFGAB表示，它们对应着钢琴上的七个白键。每个音名都有频率，比如，中央音区A键频率是440HZ。除了这七个音，还有五个半音是黑键，共十二个。人们通常在CDFGA前加升降号，如#C表示C和D音之间的半音。八度是指两个音频率之间的二倍关系，把某个音升高八度，就是把这个音的频率加倍。说来有趣，人的耳朵天生对频率加倍的声音感到和谐亲切。一个音，比如C，升高或降低八度，还是C，因此我们需要说明是哪个音区的C。这样一来，就可以写全钢琴的88个音。

值得一提的是，每一段的CDEFGAB及其半音之间满足一种叫“十二平均律”的频率关系，即它们的频率形成等比级数，且首尾两音的频率比值为2。虽说巴赫的《十二平均律钢琴曲》如今是最广泛使用的钢琴教程，19世纪德国音乐家黎曼也曾对十二平均律做过专门研究，他的和声学著作被认为是现代音乐理论的基础，这位黎曼与高斯那位最得意的学生、数学家黎曼均是哥廷根大学博士，后来执教于莱比锡音乐学院。

进入20世纪以后，新黎曼音乐理论家又将十二平均律与欧拉的音网相联系，并涉及现代数学中的群论和环论方法，奥地利作曲家勋伯格也提出了十二音技术，但世界上第一个明确提出十二平均律、同时也精确地计算出上述等比级数公比的是我国16世纪的明代学者朱载堉，他是明太祖朱元璋的九世孙。对2开12次方，朱载堉计算出的值是关于春天的网络图：1.059463094359295264561825。

蔡天新