导数题的题型总结 第1篇

高中数学导数知识点总结

(一)导数第一定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 △x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义

(二)导数第二定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即 导数第二定义

(三)导函数与导数

如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

(四)单调性及其应用

1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤

(1)求f(x)

(2)确定f(x)在(a，b)内符号 (3)若f(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数;若f(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数

2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤

(1)求f(x)

(2)f(x)>0的解集与定义域的.交集的对应区间为增区间; f(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间

学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。

导数题的题型总结 第2篇

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法

5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)

与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令得到两个根;

第二步：画两图或列表;

第三步：由图表可知;

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)

第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

(1)若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;

(2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

解:由函数得

(1)在区间上为“凸函数”，

则在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：

∵当时,恒成立,

当时,恒成立

等价于的最大值恒成立，

而()是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”

则等价于当时恒成立

变更主元法

再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)

请同学们参看第三次周考：

例2：设函数

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

(二次函数区间最值的例子)

解：(Ⅰ)

令得的单调递增区间为(a,3a)

令得的单调递减区间为(-，a)和(3a，+)

∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.

(Ⅱ)由||≤a，得：对任意的恒成立①

则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)

即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数.(9分)

于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型

例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为，

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)当时，求的值域;

(Ⅲ)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

解：(Ⅰ)∴，解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减

∴的值域是

(Ⅲ)令

思路1：要使恒成立，只需，即分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知，函数.

(Ⅰ)如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;

(Ⅱ)如果函数是上的单调函数，求的取值范围.

解：.

(Ⅰ)∵是偶函数，∴.此时，，

令，解得：.

列表如下：

(-∞,-2)

(-2,2)

(2,+∞)

极大值

极小值

可知：的极大值为，的极小值为.

(Ⅱ)∵函数是上的单调函数，

∴，在给定区间R上恒成立判别式法

则解得：.

综上，的取值范围是.

例5、已知函数

(I)求的单调区间;

(II)若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

(I)

当且仅当时取“=”号，单调递增。

单调增区间：

单调增区间：

(II)当则是上述增区间的子集：

1、时，单调递增符合题意

2、，

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;

第三步：解不等式(组)即可;

例6、已知函数，，且在区间上为增函数.

求实数的取值范围;

若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.

解：(1)由题意∵在区间上为增函数，

∴在区间上恒成立(分离变量法)

即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

(2)设，

令得或由(1)知，

①当时，，在R上递增，显然不合题意…

②当时，，随的变化情况如下表：

极大值

极小值

由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得

综上，所求的取值范围为

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数

(1)若是的极值点且的图像过原点，求的极值;

(2)若，在(1)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网

解：(1)∵的图像过原点，则，

又∵是的极值点，则

(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，

等价于有含的三个根，即：

整理得：

即：恒有含的三个不等实根

(计算难点来了：)有含的根，

则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：

恒有含的三个不等实根

等价于有两个不等于-1的不等实根。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

(1)由题意得：

∴在上;在上;在上

因此在处取得极小值

∴①，②，③

由①②③联立得：，∴

(2)设切点Q，

求得：，方程有三个根。

故：;因此所求实数的范围为：

题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、

解：函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时，f(x)=x3-x2+10x，

=x2-7x+10，令，解得或.

令，解得

可知函数f(x)的单调递增区间为和(5，+∞)，单调递减区间为.

(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,

要使函数y=f(x)在(1，+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)

根分布问题：

则，解得m>3

例9、已知函数，(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.

解：(1)

当时，令解得，令解得，

所以的递增区间为，递减区间为.

当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.

(2)有且仅有3个极值点

=0有3个根，则或，

方程有两个非零实根，所以

而当或时可证函数有且仅有3个极值点

其它例题：

1、(最值问题与主元变更法的.例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是-11.

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)若时，恒成立，求实数的取值范围.

解：(Ⅰ)

令=0,得

因为，所以可得下表：

因此必为最大值,∴因此，，

即，∴，∴

(Ⅱ)∵，∴等价于，

令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，

为此只需，即，

解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

2、(根分布与线性规划例子)

(1)已知函数

(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;

(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.

解：(Ⅰ).由,函数在时有极值,

又∵在处的切线与直线平行,

∴…………………….7分

(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,

∴即令,则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得,,,,,

同时DE为△ABC的中位线,

∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,

由得点F的横坐标为:

由得点G的横坐标为:

解得:或(舍去)故这时直线方程为:

综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分

(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,

∴即令,则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得,,,,,

同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,

由得直线L与AC交点为:

∵,,

∴所求直线方程为:或

3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式;

(Ⅲ)若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：

(Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0

(Ⅱ)依题意=–3且f(2)=5

解得a=1,b=–6

所以f(x)=x3–6x2+9x+3

(Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)

=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a

由①②得–25a+3<8a<7a+3

所以当

4、(根的个数问题)已知函数

(1)若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间;

(2)若，讨论曲线与的交点个数.

解：(1)

………………………………………………………………………2分

∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分

(2)由题得

令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

此时，，，有一个交点;…………………………9分

当即时，

∴当即时,有一个交点;

当即时，有两个交点;

当时，，有一个交点.………………………13分

综上可知，当或时，有一个交点;

当时，有两个交点.…………………………………14分

5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数.

(Ⅰ)若函数在处有极值，求的解析式;

(Ⅱ)若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围.

导数题的题型总结 第3篇

高等数学导数知识点总结

1、导数的定义：在点处的导数记作.

2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率

①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。V=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。

3.常见函数的导数公式:①;②;③;

⑤;⑥;⑦;⑧。

4.导数的四则运算法则：

5.导数的应用：

(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;

注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：

①求导数;

②求方程的根;

③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;

(3)求可导函数值与最小值的步骤：

ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!

导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f'(x0)，也记作y'│x=x0或dy/dx│x=x0

锐角三角函数公式

sinα=∠α的对边/斜边

cosα=∠α的邻边/斜边

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

“一划、二批、三试、四分”的预习方法

一划：就是圈划知识要点，基本概念。

二批：就是把预习时的体会、见解以及自己暂时不能理解的内容，批注在书的空白地方。

三试：就是尝试性地做一些简单的练习，检验自己预习的效果。

四分：就是把自己预习的这节知识要点列出来，分出哪些是通过预习已掌握了的，哪些知识是自己预习不能理解掌握了的，需要在课堂学习中进一步学习。